第4节函数 第1章预备知识 如果R是X上的n元关系,而Y是X的子集,则R=R∩Yn是Y上的n元关系 般称F是R限制,R是R扩张 卡氏积的定义还可以进一步的推广到无穷多个集合上面,但我们留到以后再讲。 第4节函数 函数是一类特殊的关系。对一般的二元关系R,R定义域中x可以对应其值域中的多 个元素。例如在实数R上的关系<中,0就对应于所有大于等于0的实数。这种“一对 多”的情形在很多情况下必须排除。设想一下,如果电脑的键盘与屏幕输出之间是一对多 的话,也就是说,当你第一次敲下“a”键时,屏幕输出“a”,而下次却可能是“b"。这 样的电脑一定会令人发疯。 个二元关系∫如果满足: 如果(x,y)∈f并且(x,z)∈f,那么 就称∫是一个函数。如果(x,y)∈f,我们常写作f(x)=y,或者f:x→y、f=y等, 并把y称为∫在x处的值。如果domf=X, nancY,就称∫是X到Y的函数,记 为:f:X→Y 例17.(1)在我们所举的关系的例子中,{(x,y)|x=y}和{(x,y)|y=√a}都是函数; 而R上的<关系不是函数。 2)以下都是自然数集合N上的函数 S1(m)=1+2+…+n S2(m)=12+22+…+n2=(+1)2n+1) 2(n+1)2 (3)对任意集合X定义dx:X→X为idx(x)=x,则ix是X上的函数,称为等同函 数。 定理11.函数f,g相等当且仅当domf=domg并且对任意r∈domf,f(x)=g(x) 证明:练习 8第 4 节 函数 第 1 章 预备知识 如果 R 是 X 上的 n 元关系，而 Y 是 X 的子集，则 R′ = R ∩ Y n 是 Y 上的 n 元关系。 一般称 R′ 是 R 限制，R 是 R′ 扩张。 卡氏积的定义还可以进一步的推广到无穷多个集合上面，但我们留到以后再讲。 第 4 节 函数 函数是一类特殊的关系。对一般的二元关系 R，R 定义域中 x 可以对应其值域中的多 个元素。例如在实数 R 上的关系 ≤ 中，0 就对应于所有大于等于 0 的实数。这种“一对 多”的情形在很多情况下必须排除。设想一下，如果电脑的键盘与屏幕输出之间是一对多 的话，也就是说，当你第一次敲下“a”键时，屏幕输出“a”，而下次却可能是“b”。这 样的电脑一定会令人发疯。 一个二元关系 f 如果满足: 如果 (x, y) ∈ f 并且 (x, z) ∈ f ，那么 y = z， 就称 f 是一个函数。如果 (x, y) ∈ f ，我们常写作 f(x) = y ，或者 f : x 7→ y 、 fx = y 等， 并把 y 称为 f 在 x 处的值。如果 domf = X ，ranf ⊂ Y ，就称 f 是 X 到 Y 的函数，记 为： f : X → Y 。 例 1.7. (1) 在我们所举的关系的例子中， {(x, y) | x = y} 和 {(x, y) | y = √ x} 都是函数； 而 R 上的 ≤ 关系不是函数。 (2) 以下都是自然数集合 N 上的函数： S1(n) = 1 + 2 + · · · + n = n(n + 1) 2 , S2(n) = 12 + 22 + · · · + n 2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 , S3(n) = 13 + 23 + · · · + n 3 = n 2 (n + 1)2 2 。 (3) 对任意集合 X 定义 idX : X → X 为 idX(x) = x，则 idX 是 X 上的函数，称为等同函 数。 定理 1.1. 函数 f, g 相等当且仅当 domf = domg 并且对任意 x ∈ domf，f(x) = g(x)。 证明: 练习。 8