第1章预备知识 第4节函数 根据定义每一个函数都是一个关系,所以我们前面定义的关系的定义域、值域、象、 逆等等概念在这里仍然适用。并且,与关系类似,函数可以推广到n元的情形。一般来 说,如果函数的定义域是一个n元有序组的集合,则称为n元函数。注意到n元函数是 个n+1元关系。例如f:An→A是A上的n元函数,这样的函数经常称为A上n元 运算。自然数上的加法是一个二元运算的例子。由于我们可以将n元序组看作一个对象, 因此以下对函数的讨论可以限制在一元函数的情形 定理12.如果∫和g是函数,则它们的复合go∫也是函数。它的定义域为dom(gof)= ∫- dong。并且,对所有r∈dom(gof),(gof)(x)=g(f(x) 证明:(首先注意我们在定义∫是函数时,只需要f是有序对(比如A×B)的子集 并满足“输出唯一性”;我们并没有明确给出∫的定义域。在本题中如果我们限制好 了∫:A→B且g:B→C,那整个问题就简单多了。我们把本题当作有序对的练习好 了。) 设(x,a1),(x,2)∈(g°∫),根据定义,存在v,y,(x,)∈f,(,x1)∈g且(x,y2)∈ f,(v2,2)∈g。由f是函数,可得y=v,再由g是函数,x1=z2所以gof是函数 至于第二个命题,根据定义域的定义,我们有x∈dom(go∫)当且仅当存在z使 得(x,2)∈gof;再根据复合的定义,我们有r∈dom(gof)当且仅当存在z和y使 得(x,y)∈f且(y,x)∈g。因此,一方面,如果x∈dom(gf)则x∈dom(f)且f(x)∈ dom(g),也就有x∈dom(f)且x∈f-ldom(g。另一方面,如果x∈dom(f)且x∈ f-ldom(g)],我们有(x,y)∈f且y∈dom(g),也就有z和y使得(x,y)∈f且(v,2)∈ 所以x∈do 最后,设r∈dom(go∫),且(go∫)(x)=z。根据复合的定义,存在y,f(x)= y且g(y)=z,因此g(f(x)=9(y)=z=(gof)(x) 函数f:X→Y称为一一的或单射,如果对所有的x1,x2∈X都有x1≠x2蕴 涵f(x1)≠f(x2),函数f:X→Y称为满射,如果ran(f)=Y;既是单射又是满射的函 数称为双射,或称∫为X和Y之间的一个一一对应。 如果f:X→Y是函数,A是X的子集,则∫到A上的限制,记作f「A,是 由A到Y的函数,并且对于每一x∈A,都有fA(x)=f(x)。如果g是f的一个限制, 则称f是g的一个扩展 函数的概念在数学中是非常基本的,成为数学语言的一部分,也就是说,人们经常会 利用函数来描述一些其它的概念。逻辑中也是一样。下面举几个例子 (1)在中学我们学过等差数列和等比数列等概念。它们都是序列的例子。所谓序列 ao,a1,a2,,直观上说就是一个无穷的数串,并且我们能够分辨哪一个是它的第 项,哪个是第二项等等。序列的严格定义通常是用函数来完成的。例如,一个实数 序列就是一个从N到R的一个函数f,它的第n项就是f(n)第 1 章 预备知识 第 4 节 函数 根据定义每一个函数都是一个关系，所以我们前面定义的关系的定义域、值域、象、 逆等等概念在这里仍然适用。并且，与关系类似，函数可以推广到 n 元的情形。一般来 说，如果函数的定义域是一个 n 元有序组的集合，则称为 n 元函数。注意到 n 元函数是 一个 n + 1 元关系。例如 f : An → A 是 A 上的 n 元函数，这样的函数经常称为 A 上 n 元 运算。自然数上的加法是一个二元运算的例子。由于我们可以将 n 元序组看作一个对象， 因此以下对函数的讨论可以限制在一元函数的情形。 定理 1.2. 如果 f 和 g 是函数，则它们的复合 g ◦ f 也是函数。它的定义域为 dom(g ◦ f) = f −1 [domg]。并且，对所有 x ∈ dom(g ◦ f) ，(g ◦ f)(x) = g(f(x)) 。 证明: （首先注意我们在定义 f 是函数时，只需要 f 是有序对（比如 A × B）的子集， 并满足“输出唯一性”；我们并没有明确给出 f 的定义域。在本题中如果我们限制好 了 f : A → B 且 g : B → C，那整个问题就简单多了。我们把本题当作有序对的练习好 了。） 设 (x, z1),(x, z2) ∈ (g◦f)，根据定义，存在 y1, y2，(x, y1) ∈ f，(y1, z1) ∈ g 且 (x, y2) ∈ f，(y2, z2) ∈ g。由 f 是函数，可得 y1 = y2，再由 g 是函数， z1 = z2。所以 g ◦ f 是函数。 至于第二个命题，根据定义域的定义，我们有 x ∈ dom(g ◦ f) 当且仅当存在 z 使 得 (x, z) ∈ g ◦ f；再根据复合的定义，我们有 x ∈ dom(g ◦ f) 当且仅当存在 z 和 y 使 得 (x, y) ∈ f 且 (y, z) ∈ g。因此，一方面，如果 x ∈ dom(g ◦ f) 则 x ∈ dom(f) 且 f(x) ∈ dom(g)，也就有 x ∈ dom(f) 且 x ∈ f −1 [dom(g)]。另一方面，如果 x ∈ dom(f) 且 x ∈ f −1 [dom(g)]，我们有 ∃y(x, y) ∈ f 且 y ∈ dom(g)，也就有 z 和 y 使得 (x, y) ∈ f 且 (y, z) ∈ g，所以 x ∈ dom(g ◦ f)。 最后，设 x ∈ dom(g ◦ f) ，且 (g ◦ f)(x) = z。根据复合的定义，存在 y，f(x) = y 且 g(y) = z，因此 g(f(x)) = g(y) = z = (g ◦ f)(x)。 函数 f : X → Y 称为一一的或单射 ，如果对所有的 x1, x2 ∈ X 都有 x1 ̸= x2 蕴 涵 f(x1) ̸= f(x2)，函数 f : X → Y 称为满射 ，如果 ran(f) = Y ；既是单射又是满射的函 数称为双射 ，或称 f 为 X 和 Y 之间的一个一一对应 。 如果 f : X → Y 是函数， A 是 X 的子集，则 f 到 A 上的限制，记作 f  A，是 由 A 到 Y 的函数，并且对于每一 x ∈ A，都有 f  A(x) = f(x)。如果 g 是 f 的一个限制， 则称 f 是 g 的一个扩展。 函数的概念在数学中是非常基本的，成为数学语言的一部分，也就是说，人们经常会 利用函数来描述一些其它的概念。逻辑中也是一样。下面举几个例子。 (1) 在中学我们学过等差数列和等比数列等概念。它们都是序列的例子。所谓序列 a0, a1, a2, . . .，直观上说就是一个无穷的数串，并且我们能够分辨哪一个是它的第一 项，哪个是第二项等等。序列的严格定义通常是用函数来完成的。例如，一个实数 序列就是一个从 N 到 R 的一个函数 f，它的第 n 项就是 f(n)。 9