第5节等价关系与划分 第1章预备知识 (2)集合论中基数的比较也是利用函数来描述的。我们称两个集合A和B具有相同 的基数,如果存在一个双射∫:A→B。直观上说,A和B具有相同的基数就是 说A和B具有同样多的元素。至于为什么这样定义,我们在集合论的课程中会仔细 讲。在习题中,我们会看到一些例子,说明有些集合会和它的某个真子集具有相同 的基数。 (3)在后文中,我们经常会给一些逻辑符号指派意义,这也是利用函数来描述的。例如 S是一个抽象符号的集合,而A是一个已知概念的集合,一个函数f:S→A可以 被视为给S中的符号指派它们的意义,或者说∫是一个解释。 第5节等价关系与划分 如果有一类物体,尽管它们各不相同,但就我们关心的性质来说,它们的表现是一样 的,则我们很自然地把它们等同起来,不加区分。比如,自然数7和4不相等,但如果我 们只关心模3的算术的话,7和4的性质完全一样,因为7≡4(mod3)。因此我们完全可 以把7和4当成一个数来处理。 上面的想法自然引导我们考察等价关系和等价类 定义11.令RCX2为二元关系,则我们称 1)R是自反的如果对所有的x∈X,R(x,x); (2)R是对称的如果对所有的x,y∈X,如果R(x,y)则R(y,x); (3)R是传递的如果对所有的x,y,z∈X,如果R(x,y),且R(y,2),则R(x,z); 14)R是一个等价关系如果R是自反、对称、传递的。 习惯上用~表示等价关系;如果~为X上的一个等价关系,并且 则我们称 与y等价。 例1.8. (1)如果P代表所有人的集合,如下定义P上的二元关系 {(x,y)|x是y的后代}; B={(x,y)至少有一个x的祖先也是y的祖先}; (12) S={(x,y)|x的父母是y的父母} (1.3) D不是自反的,也不是对称的,但是传递的;B是自反的,对称的,却不是传递 的;最后,S是等价关系。第 5 节 等价关系与划分 第 1 章 预备知识 (2) 集合论中基数的比较也是利用函数来描述的。我们称两个集合 A 和 B 具有相同 的基数，如果存在一个双射 f : A → B。直观上说，A 和 B 具有相同的基数就是 说 A 和 B 具有同样多的元素。至于为什么这样定义，我们在集合论的课程中会仔细 讲。在习题中，我们会看到一些例子，说明有些集合会和它的某个真子集具有相同 的基数。 (3) 在后文中，我们经常会给一些逻辑符号指派意义，这也是利用函数来描述的。例如， S 是一个抽象符号的集合，而 A 是一个已知概念的集合，一个函数 f : S → A 可以 被视为给 S 中的符号指派它们的意义，或者说 f 是一个解释。 第 5 节 等价关系与划分 如果有一类物体，尽管它们各不相同，但就我们关心的性质来说，它们的表现是一样 的，则我们很自然地把它们等同起来，不加区分。比如，自然数 7 和 4 不相等，但如果我 们只关心模 3 的算术的话，7 和 4 的性质完全一样，因为 7 ≡ 4 (mod 3)。因此我们完全可 以把 7 和 4 当成一个数来处理。 上面的想法自然引导我们考察等价关系和等价类。 定义 1.1. 令 R ⊂ X2 为二元关系，则我们称 (1) R 是自反的 如果对所有的 x ∈ X，R(x, x)； (2) R 是对称的 如果对所有的 x, y ∈ X，如果 R(x, y) 则 R(y, x)； (3) R 是传递的 如果对所有的 x, y, z ∈ X，如果 R(x, y)，且 R(y, z)，则 R(x, z)； (4) R 是一个等价关系 如果 R 是自反、对称、传递的。 习惯上用 ∼ 表示等价关系；如果 ∼ 为 X 上的一个等价关系，并且 x ∼ y，则我们称 x 与 y 等价。 例 1.8. (1) 如果 P 代表所有人的集合，如下定义 P 上的二元关系： D = { (x, y) | x 是 y 的后代} ; (1.1) B = { (x, y) | 至少有一个 x 的祖先也是 y 的祖先} ; (1.2) S = { (x, y) | x 的父母是 y 的父母} 。 (1.3) D 不是自反的，也不是对称的，但是传递的； B 是自反的，对称的，却不是传递 的；最后， S 是等价关系。 10