第1章预备知识 第5节等价关系与划分 (2)任意集合X上的=是等价关系;平面上任意直线的平行关系是等价关系; (3)令A代表所有地球人的集合。考虑A上的关系E使得xEy当且仅当x和y有相同 国籍。让我们忽略双重国籍等情形,则E是A上的一个等价关系 14令A=Z,定义x≡3y当且仅当x≡y(mod3)。前面习题中证明了≡3是一个等价 关系。 定义12.令~是X上的等价关系,x∈X。x关于~的等价类是集合 ]~={t∈X|t~x} 当等价关系~清楚的时候,我们常把回x简记为[z 例如,在上例中相同国籍的关系下,包含姚明的等价类就是全体中国人的集合。而在 3的关系下,间={3k:k∈Z};并且(=4。 引理11.令~为X上的等价关系,则对任意x,y∈X,[a=或者团]~∩团 证明:如果回~∩≠0,则令e属于它们的交。因此e~x且e~y,由对称性和 传递性,x~y。对任意m∈X,t∈当且仅当u~x,当且仅当v~y,当且仅 当v∈回-,所以~=团~ 等价关系的概念常常与划分联系在一起。我们先看一个具体的例子:考察等价关系 3,简单计算告诉我们间={3k|k∈Z},={3k+1|k∈Z},和(2={3k+2|k∈ z}。这三个等价类的并集是所有整数集Z,并且由观察或用引理1.可以得出它们彼此不 相交。 定义13.令X为一集合,ScP(X)。如果S满足 (1)对所有的a,b∈S,如果a≠b,则a∩b=0; (2)US=X 则称S是X的一个划分 定义14.令~为X上的等价关系,则X/~={|x∈X}称为X的商集 仍以前面提到的相同国籍关系E为例,商集A/E中的元素为某一固定国家的全体国 民。而在≡3的关系下,商集Z/≡3={0,1,2]} 商集的概念在数学中是很常见的。比如代数中有商群,拓扑中有商空间等等,这些概 念都是建立在商集的基础上的。≡3的例子提示我们任何一个等价关系都诱导出一个划分 定理13.令~为X上的等价关系,则X/~是X的一个划分。第 1 章 预备知识 第 5 节 等价关系与划分 (2) 任意集合 X 上的 = 是等价关系；平面上任意直线的平行关系是等价关系； (3) 令 A 代表所有地球人的集合。考虑 A 上的关系 E 使得 xEy 当且仅当 x 和 y 有相同 国籍。让我们忽略双重国籍等情形，则 E 是 A 上的一个等价关系。 (4) 令 A = Z，定义 x ≡3 y 当且仅当 x ≡ y (mod 3)。前面习题中证明了 ≡3 是一个等价 关系。 定义 1.2. 令 ∼ 是 X 上的等价关系， x ∈ X 。 x 关于 ∼ 的等价类 是集合： [x]∼ = {t ∈ X | t ∼ x}。 当等价关系 ∼ 清楚的时候，我们常把 [x]∼ 简记为 [x]。 例如，在上例中相同国籍的关系下，包含姚明的等价类就是全体中国人的集合。而在 ≡3 的关系下，[0] = {3k : k ∈ Z}；并且 [7] = [4]。 引理 1.1. 令 ∼ 为 X 上的等价关系，则对任意 x, y ∈ X ，[x]∼ = [y]∼ 或者 [x]∼ ∩ [y]∼ = ∅。 证明: 如果 [x]∼ ∩ [y]∼ ̸= ∅，则令 e 属于它们的交。因此 e ∼ x 且 e ∼ y，由对称性和 传递性，x ∼ y。对任意 w ∈ X，w ∈ [x]∼ 当且仅当 w ∼ x，当且仅当 w ∼ y，当且仅 当 w ∈ [y]∼，所以 [x]∼ = [y]∼。 等价关系的概念常常与划分联系在一起。我们先看一个具体的例子：考察等价关系 ≡3，简单计算告诉我们 [0] = {3k | k ∈ Z}，[1] = {3k + 1 | k ∈ Z}，和 [2] = {3k + 2 | k ∈ Z}。这三个等价类的并集是所有整数集 Z，并且由观察或用引理 1.1 可以得出它们彼此不 相交。 定义 1.3. 令 X 为一集合， S ⊂ P(X) 。如果 S 满足 (1) 对所有的 a, b ∈ S ，如果 a ̸= b，则 a ∩ b = ∅ ； (2) ∪ S = X 。 则称 S 是 X 的一个划分 。 定义 1.4. 令 ∼ 为 X 上的等价关系，则 X/ ∼= {[x]∼ | x ∈ X} 称为 X 的商集 。 仍以前面提到的相同国籍关系 E 为例，商集 A/E 中的元素为某一固定国家的全体国 民。而在 ≡3 的关系下，商集 Z/ ≡3= {[0], [1], [2]}。 商集的概念在数学中是很常见的。比如代数中有商群，拓扑中有商空间等等，这些概 念都是建立在商集的基础上的。≡3 的例子提示我们任何一个等价关系都诱导出一个划分。 定理 1.3. 令 ∼ 为 X 上的等价关系，则 X/ ∼ 是 X 的一个划分。 11