12 第七章整数规划 由于检验数（第一列的数剡没有负值，所有计算结束，根据原问题和对偶问题的解的关 系，原问题的最优解为对偶问题多余变量的机会费用，从而1=5,2=0，x3=0,目标 函数值为35 在将一个全整数规划问题变得符合前述三项要求的过程中，第2项和第3项要求 般都容易做到，而满足第1项要求，有时稍有困难第1项要求是：目标函数为“m”型 且系数全为非负整数其中非负整数的要求可以用如下办法来实现例如问题的目标函数 为： min 2r1 -3x2 +5x3. 则目标函数可转变为 min w=4. 并增加约束条件 2x1-32+5x3-x4=-M 2x1-3x2+5a3-4≤-M, -21+3r2-5x3+4≤M 式中M为一个很大的正整数这样处理即可保证当达到极小时原目标函数也将达到 极小 下面给出在列出包括添加行的计算表后的计算步骤。如果原问题的约束条件方程有 m个，决策变量数为n,则计算表的行数为u=n+m+1,列数v=n+1.计算表记为 行v列的矩阵D=[duxe,d11表示负的目标函数值并以乃，B,P表示矩阵D的 列向量 1,在第1列中从d山2,1开始找负检验数.如果检验数全部非负，已得最优解结束计算 否则，记负检验数所在的行为，转下一步. 2.在r行中从d,2开始找出负元素.如果r行中没有负元素，则问题无可行解，计算 结束否则记负元素所在列为k,转下一步 3.在第1行中，从d1k开始，找出具有最小值的元素所在的列1,1应满足 ∫d,=min{dk≤i≤ d<0 并记行号g=1. 如果第1行中有多个相等的最小元素，则检查第2行，取对应元素较小的列为1并记 行号q=2.如果第2行的对应元素相等，则依次检查第3行、第4行、·，直到确定1和 q.转下一步. 4.检查r行每个元素d,j=1,2,j≠1.如果dr<0,则将第j列B用 d/4小A+乃 替换，其中国表示小于x的最大整数.这样变换将保证第1行不出现负数（山1除外），并 且检验数d1将变为一个最小的正数. 5.转第1步. 12 ❬✁❭✁❪❴❫✁❵✁❛✁❜ ↔ ➓á➟â✄ (❉✰➟Ôç➟✄) ❿➟➀➟à➒ , ➙ ➀❐➳✎✍✆ , Ù➟Ú➟✛✍➟✎✥➟➣➟Û✍➟✎ç✁✖➟ç✁✏ ➼✁✑ ✛ ✍✁✎ç✁✝✁✞✁✖ý✁➣✁Û✍❁✎å❁æ❥ ❦❁ç✁✒❁❯✁✓✝ ✑ ⑤✁✔ x1 = 5,x2 = 0, x3 = 0, ➋➎➍ ➏✄✁➒ý 35. ✽✚❁✰✌ ➠ ✂❁✄❁✔❁✕✍❁✎❥❧✘❁✙Ñ❁✬☎✕☎✖➝❝ç☎✗❢ ❄ , ❉ 2 ✖❁✥❉ 3 ✖ ➝❝✰ ✘ ➢✁✙✁➘✁✚♥ , ✔✁❰✁Ï❉ 1 ✖ ➝❝ , ➀✁❱✁✛✁➀✁✜✁✢. ❉ 1 ✖ ➝❝✗ : ➋➎➍✁➏✄ ý “min” ➸, Ð ➼✁✄➠✁ýúà✂✁✄, ➊ ❄✹úà✂✁✄✁ç➝❝❊ ➛ ✝✻✁✸✁✣➵ ú✁✤✼ . ù✻ ✍✁✎ç ➋➎➍✁➏✄ ý: min z = 2x1 − 3x2 + 5x3, ✥ ➋➎➍✁➏✄✁❊♣ ❥✁ý min w = x4, ❣ ⑧✣☎✁✆✁❂✁❃ 2x1 − 3x2 + 5x3 − x4 = −M, ✦ 2x1 − 3x2 + 5x3 − x4 ≤ −M, −2x1 + 3x2 − 5x3 + x4 ≤ M. ♠ ❄ M ý✁✰✌✁✧✁★ç✁✩✁✂✁✄. ☞✁❚✁✪s r❊✁ø✁✫✁⑨ x4 ã♥✁✬ü❱ ✛ ➋➎➍✁➏✄✁➂✚ã♥ ✬ü .✸ ➴☎✭✳ ✽ Ô❁✳ ■❁❏☎✮✣❋❁ç❁❐➳✡❁t❁ç❁❐➳ö☎✯. ✻☎✰❁✛✍❁✎ç❁☎❁✆❁❂❁❃✭❁❢➀ m ✌ , ➺✁➻❥ ❦✁✄ý n, ✥✁❐➳✡✁ç✁❋✁✄ý u = n + m + 1, Ô✄ v = n + 1. ❐➳✡ ë✁ý u ❋ v Ô ç❁➽❁➾ D = [dij ]u×v,d1,1 ✡❁❈àç ➋➑➍❁➏✄❁➒. ❣❁➛ P1,P2,. . .,Pv ✡❁❈❁➽❁➾ D ç Ô❅✷❦ . 1. ✽❉ 1 Ô ❄⑤ d2,1 ⑥✁⑦✁✱à✁á✁â✄ . ✻✁✰á✁â✄ ➠✁➡úà , ➄❧ ✝✁✞✁✖, ✍✆✁❐➳ . ✲✥ , ë à✁á✁â✄ ➙ ✽ç✁❋ý r, ♣ ✸✁✰ö . 2. ✽ r ❋❅❄⑤ dr,2 ⑥✁⑦✁✱✁✳ à➶✁➹. ✻✁✰ r ❋❅❄❿✁➀✁à➶✁➹, ✥✍✁✎✁✳❊✁❋✁✖, ❐➳ ✍✆ . ✲✥ë à➶✁➹➙ ✽ Ô✁ý k, ♣ ✸✁✰ö . 3. ✽❉ 1 ❋❅❄, ⑤ d1,k ⑥✁⑦, ✱✁✳✁✄➀✝✁ü✁➒✁ç✁➶✁➹➙ ✽ç Ô l,l ✑❰✁Ï: ( d1,l = min{d1,i|k ≤ i ≤ v} dr,l < 0. ❣✁ë❋✁✴ q = 1. ✻✁✰❉ 1 ❋❅❄➀å✌✏ô ç✁✝✁ü✁➶✁➹, ✥á✁☞❉ 2 ❋ , ✂✁➣✑✁➶✁➹✁✵✁ü✁çÔ✁ý l ❣✁ë ❋✁✴ q = 2. ✻✁✰❉ 2 ❋✁ç➣ ✑✁➶✁➹✁✏ô, ✥✁✶✁✷á✁☞❉ 3 ❋ ✞ ❉ 4 ❋ ✞ . . ., ñ♥✁✸✁✹ l ✥ q. ♣ ✸✁✰ö . 4. á✁☞ r ❋✁✺✌➶✁➹ drj , j = 1, 2, . . . , v, j 6= l. ✻✁✰ dr,j < 0, ✥✚ ❉ j Ô Pj ✝ [dq,j/dq,l] · Pl + Pj ✻ Ò, ➊ ❄ [x] ✡✁❈✁ü✁➓ x ç✁✝★✂✁✄. ☞✁❚❥✁Ò✁✚ø✁✫✁❉ 1 ❋✁þ✳ ✼à✄ (d1,1 ◆✁P), ❣ Ð á✁â✄ dr,1 ✚✁❥✁ý✁✰✌✝✁ü✁ç✁✩✁✄. 5. ♣❉ 1 ö