水木艾迪 ww.tsinghuatutor com电话:010-6270105363805地址:清华同方科技广场B座609室 微分法在几何上的应用 空间曲线{y=v(0在点M(x,y0,=0)处的切线方程 o)v()c(6) 在点M处的法平面方程:φ(o0)(x-x)+y(10)(y-y0)+o(10(=-20)=0 若空间曲线方程为 F(x,y,=)=0 F FE FILE FI IG(x,y, 2)=0 则切向量了=GGG 若空间曲线方程为:曲面F(x,y,)=0上一点,则M(x0,y,=0), 1过此点的法向量:n={Fx(x0,yo,=0),Fy(x0,y0,=0),F(x,y0,=0)} 2过此点的切平面方程:F(x2%-0x-x)+F(x2)0y-1)+F(x1-)-)=0 3过此点的切法线方程 F(x0,y,=0)F,"(x0,y0,0)F:'(x0,y,=0) 方向导数与梯度 函数:=(x,)在一点p(x,y)沿任一方向1的方向导数为:=yc030+smnp 其中q为为x轴到方向l的转角。 函数:=(xy)在一点pxy)的梯度:gad(xy)=27+7 它与方向导数的关系是:9=grad(xy)其中=cosg·+sing为l方向上的单位向量 是 gradf(x,y)在l上的投影 多元函数的局部极值及其求法 设∫(x0,y)=∫(x,y0)=0,令:fx(x,y)=A,∫(x,y0)=B,f(x,y0)=C AC-B2>0时,4<0(x,)为极大值 A>0,(x0,y)为极小值 AC-B-<OH 无极值 不确定 量积分及其应用: ∫J(x,y)dhy=』( rcos0, rsin O)rdrde水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 微分法在几何上的应用： 空间曲线 在点 处的切线方程： ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = )( )( )( tz ty tx ω ψ ϕ ),,( 000 zyxM )()()( 0 0 0 0 0 0 t zz t yy t xx ωψϕ ′ − = ′ − = ′ − 在点 M 处的法平面方程： 0))(())(())(( ϕ′ 0 − 0 +ψ′ 0 − 0 +ω′ 0 − zztyytxxt 0 = 若空间曲线方程为： 则切向量 ⎩ ⎨ ⎧ = = , 0),,( 0),,( zyxG zyxF },,{ yx yx xz xz zy zy GG FF GG FF GG FF T = v 若空间曲线方程为：曲面 zyxF = 0),,( 上一点，则 zyxM 000 ),,( ， 1.过此点的法向量： )},,('),,,('),,,('{ 000 000 000 = x y z zyxFzyxFzyxFnv 2.过此点的切平面方程： 0))(,,('))(,,('))(,,(' x − 0000 + y − 0000 + z −zzzyxFyyzyxFxxzyxF 0000 = 3.过此点的切法线方程： ),,('),,('),,(' 000 0 000 0 000 0 zyxF zz zyxF yy zyxF xx x y z − = − = − 方向导数与梯度： 函数 = yxfz ),( 在一点 沿任一方向 的方向导数为： yxp ),( l cos sinϕϕ y f x f l f ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ 其中ϕ 为为 x 轴到方向l 的转角。 函数 = yxfz ),( 在一点 的梯度： yxp ),( j y f i x f yxf vv ∂ ∂ + ∂ ∂ ),(grad = 它与方向导数的关系是： eyxf l f v ⋅= ∂ ∂ ),(grad 其中 jiev v v = cosϕ ⋅ + sinϕ ⋅ 为 方向上的单位向量。 l l f ∂ ∂ ∴ 是 yxf ),(grad 在l 上的投影。 多元函数的局部极值及其求法： 设 yxfyxf CyxfByxfAyxf x 00 = y 00 = ，令： xx 00 = xy 00 = yy 00 ),(,),(,),(0),(),( = 则： ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =− <− ⎩ ⎨ ⎧ > < >− 时 不确定 时， 无极值 为极小值 为极大值 时， ,0 0 ),(,0 ),(,0 0 2 2 00 2 00 BAC BAC yxA yxA BAC 重积分及其应用： ∫∫ ∫∫ ′ = D D ),( )sin,cos( rdrdrrfdxdyyxf θθθ 24