教案:闭区间上 Riemann积分的应用理论 局部圆台侧面积近似的几何关系如上图所示,可得: S=2(-)2=2(风+)(-)=2x(x+)xx)+(x-) x(x2+x)√(x-x)+(x-y) 利用 Lagrange中值定理, x1-x-1=x(5)△1y1=y(51)+y(a1)(1-1-5),a1∈(1-1,5) y-y-1=j(,)△t’y=y(5)+j(B)(1-5,),B∈(5,,) 此处v;∈(t-1,1) S=x(y2+x)√(x-x-)+(x-y-) =2xy()2(5)+(m)△+x(a)√(5)+y(n)△1(t1-5) +x,1()√()+j(n)△1(-5) 籍此,我们易得估计: -2ry()√F(5)+p(m)△ s∑ry(a)√()+y(m)M1(1-5)+E()√()+y()(一 ≤2rsup(O)sup()+supy(0(B-a)|P 对于上述分析,我们要求:f()∈C[a,],(t)∈R[a, 进一步,考虑估计 2zy()√Vx2()+j2(n,)△1-J2xy(),√x2(t)+j2()dt s∑2xy()Vx()+y(n),4t-∑2xy()x(=,)+j2( +E2x)(5)√(4)+y()A4-j2xy(0)√F()+()d 对于R的第2项,由于2xy()√F(0)+p(0)∈R,则有估计: 对VE>0,彐δ>0,成立 第6页共9页教案：闭区间上 Riemann 积分的应用理论 第 6 页 共 9 页 局部圆台侧面积近似的几何关系如上图所示，可得：                2 2 2 2 1 11 2 2 1 11 11 1 2 22 2 i i i i ii ii i i i i i i i i i ii ii S R r Rr Rr y y xx y y y y xx yy                        利用 Lagrange 中值定理，     1 1 ii i i ii i i x xx t yy y t             ；                1 11 , , , , i i ii i i ii i i i i i i ii yy y t t y y yt t                      此处   1, i ii  t t    。                      2 2 1 11 22 22 1 2 2 2 i i i ii ii i i i i i i i ii i i i i ii i S y y xx yy y x y t y x y tt y x y tt                                          籍此，我们易得估计：                               2 2 1 1 22 22 1 1 1 , ,, 2 2 sup sup sup N N i i i ii i i N N i i i ii i i i i ii i i i S yxy t y x y tt y x y tt yt xt yt P                                                              对于上述分析，我们要求：rt C rt R    , , ,          。 进一步，考虑估计：                     2 2 22 1 22 2 2 1 1 2 2 22 1 2 2 2 2 2 2 N i i ii i N N i i ii i i ii i i N i i ii i y x y t y t x t y t dt yxy t yx y t y x y t y t x t y t dt                                                                 对于 RHS 的第 2 项，由于    2 2 2 y t x t y t dt            ，则有估计： 对   0 ， 0     ，成立