第10期 张浩等：幂律流体延伸表面逆来流边界层特性分析与数值模拟 ,1175, 律流体绕流连续运动的平板且速度相反于主流速度 2.2量纲为1化 的动量边界层问题.如图1，二维稳态情况下，具有 引入量纲为1的变量[12] 定常速度U∞的不可压缩幂律流体掠过一个逆来流 运动（速度为Uw)的平板表面，分别取平板运动方 L 向和垂直于平板方向为X轴和Y轴的正方向，其速 度边界层方程为9-12]， (6) au.OY-0 ax ay (1) 则控制方程(1)和(2)变为： +v器{3副 (7) (2) 2+-0 =22w-1 uaxoay-ay ay d (8) U 边界条件(3)变为： uly=0=Uw/Uo=-5,ul,=0=0,ul,=+∞=1 (9) 77777 这里，=一U./U∞为速度比例参数；v.（x)= U.04 (U“L“/Y)市Vw(X)/U∞为量纲为1的抽吸/ 图1逆流运动平板边界层流动结构图 |aw-12u= 喷注参数：量纲为1的剪切力y=3y Fig.I Distribution diagram of boundary layer flow along a reverse KU3npn -1/(n+1) flowing plate T·本文仅考虑0≤≤*情况 定义k=P1,通常称之为幂律流体的稠度系数： 下的边界层问题（专为临界速度比例参数）· a业|n-1 几=K为幂律流体的表观粘度，则剪切应 当n=1,方程(8)亦退化为牛顿流体情况： 亚m-1au, 力=K737:n为幂律指数，n=1对应 +学 u ax (10) 于牛顿流体，0~n<1描述拟塑性流体，n>1描述 以上通过对控制方程的量纲为1化，得到了幂 涨塑性流体，相应的边界条件为： 律流体连续运动平板动量边界层量纲为1化的方程 UIy=0=Uw,VIy=0=0,Uly=+oo=Uoo.(3) 组，最终变换后的方程仅涉及幂律指数n和速度比 例参数ξ.值得注意的是，所有其他的参数，比如坐 2量级分析和控制方程的量纲为1化 标，流体物性参数K、P和流动状态参数U∞都包括 2.1量级分析 在局部雷诺数Nae中， 根据边界层理论：速度边界层内惯性力与粘性 3结果和分析 力可视为同一数量级13，于是： 根据数值计算结果，把边界层内的量纲为1速 6(x) Kn (4) 度分布和量纲为1剪切力分布按照它们的影响因 或 素一幂律指数n和平板的速度比例参数ξ，分别 拟合出曲线，并对其分布规律做进一步的分析 (X) (5) 3.1边界层厚度 X 式中，Ne= 为幂律流体的雷诺数 图2描述了边界层厚度δ随X+1的变化曲线， K 由图可以看出，6随X市的变化是线性的，这很好 由此可见对于平板壁面，边界层厚度6(x)与 X市成正比：量纲为1的边界层厚度P仅与蒂 地验证了前面的边界层物理量级分析的结果，也与 牛顿流体(n=1)中经典的平板边界层厚度公式 律指数n和雷诺数NRe有关， (x)=5.0 能够很好地吻合·律流体绕流连续运动的平板且速度相反于主流速度 的动量边界层问题．如图1‚二维稳态情况下‚具有 定常速度 U∞的不可压缩幂律流体掠过一个逆来流 运动（速度为 Uw ）的平板表面‚分别取平板运动方 向和垂直于平板方向为 X 轴和 Y 轴的正方向‚其速 度边界层方程为［9—12］： ∂U ∂X ＋ ∂V ∂Y ＝0 （1） U ∂U ∂X ＋ V ∂U ∂Y ＝ ∂ ∂Y γ ∂U ∂Y n—1∂U ∂Y （2） 图1 逆流运动平板边界层流动结构图 Fig．1 Distribution diagram of boundary layer flow along a reverse flowing plate 定义 k＝ργ‚通常称之为幂律流体的稠度系数； ηa＝ K ∂U ∂Y n—1 为幂律流体的表观粘度‚则剪切应 力τXY＝ K ∂U ∂Y n—1∂U ∂Y ；n 为幂律指数‚n＝1对应 于牛顿流体‚0＜ n＜1描述拟塑性流体‚n＞1描述 涨塑性流体．相应的边界条件为： U｜Y＝0＝ Uw‚V｜Y＝0＝0‚U｜Y＝＋∞＝ U∞．（3） 2 量级分析和控制方程的量纲为1化 2∙1 量级分析 根据边界层理论：速度边界层内惯性力与粘性 力可视为同一数量级［1‚13—15］‚于是： δ（ x）～ Kn ρ 1 n＋1 U n—2 n＋1 ∞ X 1 n＋1 （4） 或 δ（ X） X ～ 1 n NRe — 1 n＋1 （5） 式中‚NRe＝ U 2— n ∞ ρX n K 为幂律流体的雷诺数． 由此可见对于平板壁面‚边界层厚度 δ（ x ）与 X 1 n＋1成正比；量纲为1的边界层厚度 δ（ X） X 仅与幂 律指数 n 和雷诺数 NRe有关． 2∙2 量纲为1化 引入量纲为1的变量［9—12］： x＝ X L ‚y＝ U 2— n ∞ L n γ 1 n＋1 Y L ‚ u＝ U U∞ ‚v＝ U 2— n ∞ L n γ 1 n＋1 V U∞ （6） 则控制方程（1）和（2）变为： ∂u ∂x ＋ ∂v ∂y ＝0 （7） u ∂u ∂x ＋v ∂u ∂y ＝ ∂ ∂y ∂u ∂y n—1∂u ∂y （8） 边界条件（3）变为： u｜y＝0＝ Uw／U∞＝—ξ‚v｜y＝0＝0‚u｜y＝＋∞＝1 （9） 这里‚ξ＝— Uw／U∞ 为速度比例参数；v w （ x ） ＝ （ U 2— n ∞ L n／γ） 1 n＋1V W（ X）／U∞为量纲为1的抽吸／ 喷注参数；量纲为1的剪切力 τxy＝ ∂u ∂y n—1∂u ∂y ＝ KU 3nρn L n —1／（ n＋1） τXY．本文仅考虑0≤ξ≤ξ∗情况 下的边界层问题（ξ∗为临界速度比例参数）． 当 n＝1‚方程（8）亦退化为牛顿流体情况： u ∂u ∂x ＋v ∂u ∂y ＝ ∂2u ∂y 2 （10） 以上通过对控制方程的量纲为1化‚得到了幂 律流体连续运动平板动量边界层量纲为1化的方程 组‚最终变换后的方程仅涉及幂律指数 n 和速度比 例参数ξ．值得注意的是‚所有其他的参数‚比如坐 标‚流体物性参数 K、ρ和流动状态参数 U∞都包括 在局部雷诺数 NRe中． 3 结果和分析 根据数值计算结果‚把边界层内的量纲为1速 度分布和量纲为1剪切力分布按照它们的影响因 素———幂律指数 n 和平板的速度比例参数ξ‚分别 拟合出曲线‚并对其分布规律做进一步的分析． 3∙1 边界层厚度 图2描述了边界层厚度δ随 X 1 n＋1的变化曲线． 由图可以看出‚δ随 X 1 n＋1的变化是线性的‚这很好 地验证了前面的边界层物理量级分析的结果‚也与 牛顿流体（ n＝1）中经典的平板边界层厚度公式 δ（ x）＝5∙0 v x U∞ 能够很好地吻合． 第10期 张 浩等： 幂律流体延伸表面逆来流边界层特性分析与数值模拟 ·1175·