第8章小波与小波变换 小波分析是近十几年才发展起来并迅速应用到图像处理和语音分析等众多领域的一种 数学工具。它是继110多年前的傅立叶( Joseph Fourier分析之后的一个重大突破,无论是对 古老的自然学科还是对新兴的高新技术应用学科都产生了强烈冲击。 小波理论是应用数学的一个新领域。要深入理解小波理论需要用到比较多的数学知识 本章企图从工程应用角度出发,用比较直观的方法来介绍小波变换和它的应用,为读者深入 研究小波理论和应用提供一些背景材料。 81小波介绍 811小波简史 傅立叶理论指出,一个信号可表示成一系列正弦和余弦函数之和,叫做傅立叶展开式 用傅立叶表示一个信号时,只有频率分辨率而没有时间分辨率,这就意味我们可以确定信号 中包含的所有频率,但不能确定具有这些频率的信号出现在什么时候。为了继承傅立叶分析 的优点,同时又克服它的缺点,人们一直在寻找新的方法 20世纪初,哈尔( Alfred Haar)对在函数空间中寻找一个与傅立叶类似的基非常感兴趣 1909年他发现了小波,并被命名为哈尔小波( Haar wavelets),他最早发现和使用了小波 20世纪70年代,当时在法国石油公司工作的年轻的地球物理学家 Jean morlet提出了小 波变换WT( wavelet transform)的概念 进入20世纪80年代,法国的科学家 Y.Meyer和他的同事开始为此开发系统的小波分 析方法。 Meyer于1986年创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数,他用缩放( dilations) 与平移 translations均为2/(j≥0的整数)的倍数构造了L2(R)空间的规范正交基,使小波得 到真正的发展。 小波变换的主要算法则是由法国的科学家 Stephane Mallat在1988年提出[l]l。他在构造 正交小波基时提出了多分辨率的概念,从空间上形象地说明了小波的多分辨率的特性,提出 了正交小波的构造方法和快速算法,叫做Malt算法[1]l。该算法统一了在此之前构造正交 小波基的所有方法,它的地位相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶分析中的地位 Inrid daubechies, Ronald Coifman和 Victor wickerhauser等著名科学家把这个小波理论 引入到工程应用方面做出了极其重要的贡献。例如, Inrid daubechies于1988年最先揭示了 小波变换和滤波器组( (filter banks))之间的内在关系[2],使离散小波分析变成为现实。在信号 处理中,自从 S Mallat和 Inrid daubechies发现滤波器组与小波基函数有密切关系之后,小 波在信号(如声音信号,图像信号等)处理中得到极其广泛的应用。 经过十几年的努力,这门学科的理论基础已经基本建立,并成为应用数学的一个新领域 这门新兴学科的出现引起了许多数学家和工程技术人员的极大关注,是国际科技界和众多学 术团体高度关注的前沿领域 812小波概念 小波是定义在有限间隔而且其平均值为零的一种函数,它的波形如图801(b)所示。图 8-01(a)是大家所熟悉的正弦波,图8-01(b)是从许多使用比较广泛的小波中挑选出的几种 维小波。 在图801(b)所示的小波中,缩放函数和小波函数的名称大多数是以开发者的名字命名 的.。例如, Moret小波函数是 Grossmann和 Morlet在1984年开发的,db6缩放函数和db6第 8 章 小波与小波变换 小波分析是近十几年才发展起来并迅速应用到图像处理和语音分析等众多领域的一种 数学工具。它是继 110 多年前的傅立叶(Joseph Fourier)分析之后的一个重大突破，无论是对 古老的自然学科还是对新兴的高新技术应用学科都产生了强烈冲击。 小波理论是应用数学的一个新领域。要深入理解小波理论需要用到比较多的数学知识。 本章企图从工程应用角度出发，用比较直观的方法来介绍小波变换和它的应用，为读者深入 研究小波理论和应用提供一些背景材料。 8.1 小波介绍 8.1.1 小波简史 傅立叶理论指出，一个信号可表示成一系列正弦和余弦函数之和，叫做傅立叶展开式。 用傅立叶表示一个信号时，只有频率分辨率而没有时间分辨率，这就意味我们可以确定信号 中包含的所有频率，但不能确定具有这些频率的信号出现在什么时候。为了继承傅立叶分析 的优点，同时又克服它的缺点，人们一直在寻找新的方法。 20 世纪初，哈尔(Alfred Haar)对在函数空间中寻找一个与傅立叶类似的基非常感兴趣。 1909 年他发现了小波，并被命名为哈尔小波(Haar wavelets)，他最早发现和使用了小波。 20 世纪 70 年代，当时在法国石油公司工作的年轻的地球物理学家 Jean Morlet 提出了小 波变换 WT(wavelet transform)的概念。 进入 20 世纪 80 年代，法国的科学家 Y.Meyer 和他的同事开始为此开发系统的小波分 析方法。Meyer 于 1986 年创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，他用缩放(dilations) 与平移(translations)均为 j 2 ( j  0 的整数)的倍数构造了 2 L R( ) 空间的规范正交基，使小波得 到真正的发展。 小波变换的主要算法则是由法国的科学家 Stephane Mallat 在 1988 年提出[1]。他在构造 正交小波基时提出了多分辨率的概念，从空间上形象地说明了小波的多分辨率的特性，提出 了正交小波的构造方法和快速算法，叫做 Mallat 算法[1]。该算法统一了在此之前构造正交 小波基的所有方法，它的地位相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶分析中的地位。 Inrid Daubechies，Ronald Coifman 和 Victor Wickerhauser 等著名科学家把这个小波理论 引入到工程应用方面做出了极其重要的贡献。例如，Inrid Daubechies 于 1988 年最先揭示了 小波变换和滤波器组(filter banks)之间的内在关系[2]，使离散小波分析变成为现实。在信号 处理中，自从 S.Mallat 和 Inrid Daubechies 发现滤波器组与小波基函数有密切关系之后，小 波在信号(如声音信号，图像信号等)处理中得到极其广泛的应用。 经过十几年的努力，这门学科的理论基础已经基本建立，并成为应用数学的一个新领域。 这门新兴学科的出现引起了许多数学家和工程技术人员的极大关注，是国际科技界和众多学 术团体高度关注的前沿领域。 8.1.2 小波概念 小波是定义在有限间隔而且其平均值为零的一种函数，它的波形如图 8-01(b)所示。图 8-01(a)是大家所熟悉的正弦波，图 8-01(b)是从许多使用比较广泛的小波中挑选出的几种一 维小波。 在图 8-01(b)所示的小波中，缩放函数和小波函数的名称大多数是以开发者的名字命名 的.。例如，Moret 小波函数是 Grossmann 和 Morlet 在 1984 年开发的，db6 缩放函数和 db6