李雅迪等：航空发动机阻燃钛合金力学性能预测及成分优化 3 想是通过一个非线性映射，将数据x映射到高维 为模型的输入参数，将室温抗拉强度、屈服强度、 特征空间F,并在这个空间进行线性回归.假设一 延伸率和断面收缩率作为输出参数.为避免支持 个数据集{(x,)W,其中输入数据∈R”,∈R”,在 向量机模型在计算机模拟过程中发生数值溢出的 高维空间中构造的最优线性模型函数为： 情况，在数据集输入到模型进行训练之前，需要对 f(x)=wp(x)+b (1) 输入输出参数进行归一化处理，使处理后的参数 其中，)是回归向量：b为回归偏差.由此在高维特 值处于[0,1]区间，加快机器学习训练的收敛速度 征空间的线性回归即可对应于低维输入空间的非 本研究按照公式(4)进行归一化处理 线性回归.考虑到回归误差超出误差范围内的数 X=x-tmin (4) Xmax -Xmin 据，引入松弛函数来对其进行处理，将函数的拟合 其中，x为输入模型计算的参数数据真实值，X为 问题转化为如下的优化问题： 归一化处理后的参数数值，xmax、xmin分别为所有 min o+) (2) 样本参数数据的最大、最小值.模型的输出值按 l 照该处理的反过程进行计算即可得到真正的输入 y1-w·X-b≤E+ 数据，反归一化公式为： subject to 0:G+b-光≤E+号 (3) i,5≥0 =X(max-Xmin)+Xmin (5) 其中，，为松弛因子；ε为拟合精度；C为控制对 将数据集中的12组数据拆分11组训练样本 超出误差的样本的惩罚程度 (表1中第1~11组数据)和1组测试样本（表1中 利用支持向量机解决回归问题时，需要根据 第12组数据)，11组训练样本输入到支持向量机 求解问题的特性，使用恰当的核函数来代替内积， 算法的模型中进行学习训练，并使用线性相关系 隐式地把高维特征空间的点积运算转化为低维原 数（即实验值与模型预测值的线性相关性R,表达 始空间的核函数运算，巧妙地解决在高维特征空 式见公式(6)和绝对百分误差来评价各个力学性 间中计算带来的“维数灾难”问题，提高计算效率27 能模型的训练效果.利用训练后的各个力学性能 在使用支持向量机解决某一特定的回归问题时， 模型对测试样本分别进行预测，并使用绝对百分 核函数的选择是能否寻找到最优解的重要因素， 误差对预测结果进行评估，验证模型的泛化能力 常用的核函数主要有三类：多项式核函数、径向基 训练样本的绝对百分误差值越小，R越接近1，表 核函数和线性核函数.本研究采用径向基核函数 明该模型回归的拟合程度就越好，从而得到越好 的支持向量机回归算法对Ti-V-Cr系阻燃钛合金 的训练效果和预测性能：测试样本的绝对百分误 的力学性能建立机器学习模型. 差值越小，表明该模型对未知样本的预测效果就 越好，泛化能力就越强 1.2计算模型 支持向量机对Ti-V-Cr系阻燃钛合金力学性 6-y 能的预测过程主要包括三个步骤：输入输出参数的 R2=1-过 (6) 确定与预处理、模型的学习与验证、性能预测与 ∑-y2 成分优化.第一步是选取室温拉伸性能作为输出 i=l 参数，以及影响室温拉伸性能的主要合金化元素 其中，n为样本数量，y和分别是第i个样本的实 作为输入参数，并对输入输出参数进行归一化处 验值和预测值，：是实验值的平均值 理；第二步是计算机识别并储存大量的训练数据， 2结果与分析 利用支持向量机算法寻找数据中的内在联系，建 立合金化元素与力学性能之间的映射模型，并对 2.1阻燃钛合金力学性能预测结果 模型的预测精度进行验证；在最后一步中，根据所 各个力学性能训练样本的线性相关性分析结 建立的支持向量机模型进行逆向设计，优化Ti-V-Cr 果如图1所示.从图1中可以看出，模型经过训练 系阻燃钛合金力学性能所对应的成分范围 之后，抗拉强度、屈服强度、延伸率和断面收缩率 本研究收集获得12组不同成分的Ti-V-Cr系 的线性相关系数分别为0.993、0.995、0.993和0.975. 阻燃钛合金室温拉伸性能数据，将这I2组数据组 说明通过训练所建立的支持向量机模型训练效果 成数据集.将合金化元素V、Al、Si和C的含量作 好、精度较高，具有良好的预测能力，能够对未知{(xi , yi)} N xi ∈ R n yi ∈ R n 想是通过一个非线性映射 φ，将数据 x 映射到高维 特征空间 F，并在这个空间进行线性回归. 假设一 个数据集 ，其中输入数据 ， ，在 高维空间中构造的最优线性模型函数为： f (x) = ω Tφ(x)+b （1） 其中，ω 是回归向量；b 为回归偏差. 由此在高维特 征空间的线性回归即可对应于低维输入空间的非 线性回归. 考虑到回归误差超出误差范围内的数 据，引入松弛函数来对其进行处理，将函数的拟合 问题转化为如下的优化问题： min 1 2 ∥ω∥ 2 +C ∑n i=1 ( ξi +ξ ∗ i ) （2） subject to    yi −ω· xi −b ⩽ ε+ξi ω· xi +b−yi ⩽ ε+ξ ∗ i ξi , ξ∗ i ⩾ 0 （3） 其中，ξi，ξi *为松弛因子；ε 为拟合精度；C 为控制对 超出误差的样本的惩罚程度. 利用支持向量机解决回归问题时，需要根据 求解问题的特性，使用恰当的核函数来代替内积， 隐式地把高维特征空间的点积运算转化为低维原 始空间的核函数运算，巧妙地解决在高维特征空 间中计算带来的“维数灾难”问题，提高计算效率[27] . 在使用支持向量机解决某一特定的回归问题时， 核函数的选择是能否寻找到最优解的重要因素. 常用的核函数主要有三类：多项式核函数、径向基 核函数和线性核函数. 本研究采用径向基核函数 的支持向量机回归算法对 Ti−V−Cr 系阻燃钛合金 的力学性能建立机器学习模型. 1.2    计算模型 支持向量机对 Ti−V−Cr 系阻燃钛合金力学性 能的预测过程主要包括三个步骤：输入输出参数的 确定与预处理、模型的学习与验证、性能预测与 成分优化. 第一步是选取室温拉伸性能作为输出 参数，以及影响室温拉伸性能的主要合金化元素 作为输入参数，并对输入输出参数进行归一化处 理；第二步是计算机识别并储存大量的训练数据， 利用支持向量机算法寻找数据中的内在联系，建 立合金化元素与力学性能之间的映射模型，并对 模型的预测精度进行验证；在最后一步中，根据所 建立的支持向量机模型进行逆向设计，优化 Ti−V−Cr 系阻燃钛合金力学性能所对应的成分范围. 本研究收集获得 12 组不同成分的 Ti−V−Cr 系 阻燃钛合金室温拉伸性能数据，将这 12 组数据组 成数据集. 将合金化元素 V、Al、Si 和 C 的含量作 为模型的输入参数，将室温抗拉强度、屈服强度、 延伸率和断面收缩率作为输出参数. 为避免支持 向量机模型在计算机模拟过程中发生数值溢出的 情况，在数据集输入到模型进行训练之前，需要对 输入输出参数进行归一化处理，使处理后的参数 值处于 [0,1] 区间，加快机器学习训练的收敛速度. 本研究按照公式 (4) 进行归一化处理. X = x− xmin xmax − xmin （4） 其中，x 为输入模型计算的参数数据真实值，X 为 归一化处理后的参数数值，xmax、xmin 分别为所有 样本参数数据的最大、最小值. 模型的输出值按 照该处理的反过程进行计算即可得到真正的输入 数据，反归一化公式为： x = X (xmax − xmin)+ xmin （5） 将数据集中的 12 组数据拆分 11 组训练样本 （表 1 中第 1～11 组数据）和 1 组测试样本（表 1 中 第 12 组数据），11 组训练样本输入到支持向量机 算法的模型中进行学习训练，并使用线性相关系 数（即实验值与模型预测值的线性相关性 R 2 ，表达 式见公式 (6)）和绝对百分误差来评价各个力学性 能模型的训练效果. 利用训练后的各个力学性能 模型对测试样本分别进行预测，并使用绝对百分 误差对预测结果进行评估，验证模型的泛化能力. 训练样本的绝对百分误差值越小，R 2 越接近 1，表 明该模型回归的拟合程度就越好，从而得到越好 的训练效果和预测性能；测试样本的绝对百分误 差值越小，表明该模型对未知样本的预测效果就 越好，泛化能力就越强. R 2 = 1− ∑n i=1 (yˆi −yi) 2 ∑n i=1 (y¯i −yi) 2 （6） yˆi y¯i 其中，n 为样本数量，yi 和 分别是第 i 个样本的实 验值和预测值， 是实验值的平均值. 2    结果与分析 2.1    阻燃钛合金力学性能预测结果 各个力学性能训练样本的线性相关性分析结 果如图 1 所示. 从图 1 中可以看出，模型经过训练 之后，抗拉强度、屈服强度、延伸率和断面收缩率 的线性相关系数分别为 0.993、0.995、0.993 和 0.975， 说明通过训练所建立的支持向量机模型训练效果 好、精度较高，具有良好的预测能力，能够对未知 李雅迪等： 航空发动机阻燃钛合金力学性能预测及成分优化 · 3 ·