代入方程(1.11),得到在区间Ⅰ上关于x的恒等式 则称y=为方程(1区间上的一个解 这样,从定义1.1可以直接验证: 1.函数y=x2+C是方程(14)在区间(-∞O,+∞)上的解,其中C是任意的常数 2.函数=m(ax+②是方程(15)在区间(-1+1)上的解,其中C是任意常 数又方程(1.5)有两个明显的常数解y=±1,这两个解不包含在上述解中 3.函数x=CCg+C2是方程16)在区间(x,+∞)上的解,其中和是独 立的任意常数 交、4函数》x+是方程(1.7)在区间(x+)上的解,其中和是独立的 意常数 这里,我们仅验证3,其余留给读者完成事实上,在(-,+∞)上有 1 sInt+C 所以在(-∞,+∞)上有 +x 从而该函数是方程(1.6)的解 从上面的讨论中,可以看到一个重要事实,那就是微分方程的解中可以包含任意常 数,其中任意常数的个数可以多到与方程的阶数相等,也可以不含任意常数我们把n 阶常微分方程(1.11)的含有n个独立的任意常数C1,C2,….,Cn的解 (C1C2C,称为该方程的通解,如果方程(1)解=以 不包含任 意常数,则称它为特解由隐式表出的通解称为通积分,而由隐式表出的特解称为特积 分 由上面的定义,不难看出,函数=x+C》一(取不+Q和 G1cQ3+C2分 分别是方程(14,(15)和16)的通解,函要2=Cx+C是方程(17) 的通积分,而函数y=±1是方程(1.7)的特解通常方程的特解可对通解中的任意常数以定 值确定,这种确定过程,需要下面介绍的初始值条件,或简称初值条件 初值问题 例1中的函数(3显然是方程12)通解,由于圖和是两个任意常数,这表明 方程(1.2)有无数个解,解的图像见下面的图a和图b所示代入方程(1.11)，得到在区间 I 上关于 x 的恒等式， 则称 为方程(1.11)在区间 I 上的一个解. 这样，从定义 1.1 可以直接验证： 1. 函数 y = x2＋Ｃ是方程(1.4)在区间(-∞，+∞)上的解，其中 C 是任意的常数. 2. 函数 是方程(1.5)在区间（-1,+1）上的解，其中 C 是任意常 数.又方程(1.5)有两个明显的常数解 y =±１，这两个解不包含在上述解中. 3. 函数 是方程(1.6)在区间(-∞，+∞)上的解，其中 和 是独 立的任意常数. 4. 函数 是方程(１.７)在区间(-∞，+∞)上的解，其中 和 是独立的 任意常数. 这里，我们仅验证 3，其余留给读者完成.事实上，在(-∞，+∞)上有 所以在（－∞，＋∞）上有 从而该函数是方程(1.6)的解. 从上面的讨论中，可以看到一个重要事实，那就是微分方程的解中可以包含任意常 数，其中任意常数的个数可以多到与方程的阶数相等，也可以不含任意常数.我们把 n 阶 常 微 分 方 程 (1.11) 的 含 有 n 个 独 立 的 任 意 常 数 C1 ， C2 ， … ， Cn 的 解 ，称为该方程的通解，如果方程(1.11)的解 不包含任 意常数，则称它为特解.由隐式表出的通解称为通积分，而由隐式表出的特解称为特积 分. 由 上 面 的 定 义 ， 不 难 看 出 ， 函 数 和 分别是方程(1.4)，(1.5)和(1.6)的通解，函数 是方程(1.7) 的通积分，而函数 y =±１是方程(1.7)的特解.通常方程的特解可对通解中的任意常数以定 值确定，这种确定过程，需要下面介绍的初始值条件，或简称初值条件. 初值问题 例 1 中的函数(1.3)显然是方程(1.2)的通解，由于 和 是两个任意常数，这表明 方程(1.2)有无数个解，解的图像见下面的图 a 和图 b 所示