12.证明：似面体的似条中线交于一点（即似面体的重心），妨此交点将每一条中线分成定比为3：1 (由顶点算)的两部分.（注：似面体的中线即似面体的顶点到其对面的重心的连线） 证明：建立仿射坐标系V;A,VB,VCG点为△ABC的重心G为△VBC的重心，由习题1-2 的第3题知： 元=以+防+心=（行行） AG=(AB+A0+=号（范-i+元-i-i --i+防+网=(（-1) 取把中线VG分成3：1的分点M,即 -元-（层） 从时， 网+网=（任）=网 所以M类VG与AG1上.从理，可证得：若设G2,G3分别是△VAB和△VAC的重心则CG2与BG 算必交于点M,妨7=（子，子，子)因此M'=M,妨交点分每一中线成定比3：1. 第12题图 第13题图 13.似面体的标比交的两条棱为对棱，每一对对棱的中点的连线为似面体的拟中线.证明：似 面体的三条拟中线交于，的重心，妨此重心把每一条拟中线分成长度比等的两部分。 证明从上题建立仿射坐标系业：A,元心，设M是似面体的重心，则=（任，子，子）设 D,E分别为AB,VC的中点.则 A丽=号丽=元-， 防-i+丽-（合可 元-元-(，0.) 所以 励=防陇=（经-号） 由于 呢+助=（好）= 说明重心M类ED上妨等分ED.从理可证其 习题1-4 1312. ST: ll1t<H(l$), ?OvsH1t*e"3 : 1 (N~gt) 7|. (: ltl~<$Lt) : [+\]WUj [V ; −→V A, −→V B, −→V C]. G " 4ABC $, G1 " 4V BC $, N`a 1–2 = 3 a: −→V G = 1 3 ( −→V A + −→V B + −→V C) = µ 1 3 , 1 3 , 1 3 ¶ , −−→AG1 = 1 3 ( −→AB + −→AC + −→AV ) = 1 3 ( −→V B − −→V A + −→V C − −→V A − −→V A) = 1 3 (−3 −→V A + −→V B + −→V C) = µ −1, 1 3 , 1 3 ¶ . zNt V G * 3 : 1  M,  −−→V M = 3 4 −→V G = µ 1 4 , 1 4 , 1 4 ¶ , CR, −→V A + 3 4 −−→AG1 = µ 1 4 , 1 4 , 1 4 ¶ = −−→V M. #$ M k V G B AG1 y. C, >SP:  G2, G3  4V AB : 4V AC $. J CG2 B BG3 g@< M0 , ? −−→V M0 = ³ 1 4 , 1 4 , 1 4 ´ , !O M0 = M, ?sHt*e 3 : 1. ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( s s s s s `                ?  XQQRQQQQQQQ
                        M M M M L M M M M L M M M M L M M A C B V G G1 ￾ 12
( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( s s s s s `                ?  XQQRQQQQQQQ
                        M M M M L M M M M L M M M M L M M A C B D E V ￾ 13
13. lUe71u", sHLtu"lvt. ST: l 41vt<8$, ?O$NsH1vt*;weV7|. : Cya[+\]WUj [V ; −→V A, −→V B, −→V C],  M l$, J −−→V M = ³ 1 4 , 1 4 , 1 4 ´ .  D, E " AB, V C . J −→AD = 1 2 −→AB = 1 2 −→V B − 1 2 −→V A, −→V D = 1 2 −→V A + 1 2 −→V B = µ 1 2 , 1 2 , 0 ¶ . −→V E = 1 2 −→V C = µ 0, 0, 1 2 ¶ , #$ −→ED = −→V D − −→V E = µ 1 2 , 1 2 , − 1 2 ¶ . N< −→V E + 1 2 −→ED = µ 1 4 , 1 4 , 1 4 ¶ = −−→V M, XT$ M k ED y?V ED. C>S<8.
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