第四节几种特殊类型函数的积分 教学目的：使学生基本掌握有理函数、三角函数有理式、简单无理式的积分方法。 教学重点：有理函数的积分 教学难点：三角函数有理式、简单无理式的积分 教学过程： 一、有理函数的积分 形如 P(x)_dox"+ax++x+an (4-) Qx)bx+bx+.+bn-x+an 称为有理函数。其中a,a1,a2,an及b,b,b2,.,bn为常数，且a≠0，b≠0。 如果分子多项式P(x)的次数n小于分母多项式Q(x)的次数m,称分式为真分式：如 果分子多项式P(x)的次数n大于分母多项式Q(x)的次数m,称分式为假分式。利用多项 式除法可得，任一假分式可转化为多项式与真分式之和。例如： +x+=x+ 1 x2+1 因此，我们仅讨论真分式的积分。 根据多项式理论，任一多项式Q(x)在实数范围内能分解为一次因式和二次质因式的乘 积，即 Qx)=b(x-a)(x-b)(x2+px+q).(x2+r+s)(4-2) 其中p2-4g<0,.,r2-4s<0。 如果(41)的分母多项式分解为42)式，则(41)式可分解为 P(x)A A A (x-a) B B, B +-by+-=++x- Mx+N Mx+N、 Mx+N. +m+g列t+m+gt.+ (x+px+g) (43)第四节 几种特殊类型函数的积分 教学目的：使学生基本掌握有理函数、三角函数有理式、简单无理式的积分方法。 教学重点：有理函数的积分。 教学难点：三角函数有理式、简单无理式的积分。 教学过程： 一、 有理函数的积分 形如 m m m m n n n n b x b x b x a a x a x a x a Q x P x + + + + + + + + = − − − − 1 1 0 1 1 1 0 1 ( ) ( )   (4-1) 称为有理函数。其中 a a a an , , , , 0 1 2  及 b b b bm , , , , 0 1 2  为常数，且 a0  0 ，b0  0 。 如果分子多项式 P(x) 的次数 n 小于分母多项式 Q(x) 的次数 m ，称分式为真分式；如 果分子多项式 P(x) 的次数 n 大于分母多项式 Q(x) 的次数 m ，称分式为假分式。利用多项 式除法可得，任一假分式可转化为多项式与真分式之和。例如： 1 1 1 1 2 2 3 + = + + + + x x x x x 因此，我们仅讨论真分式的积分。 根据多项式理论，任一多项式 Q(x) 在实数范围内能分解为一次因式和二次质因式的乘 积，即     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 Q x = b x − a  x − b x + px + q  x + rx + s (4-2) 其中 4 0, , 4 0 2 2 p − q   r − s  。 如果(4-1)的分母多项式分解为(4-2)式，则(4-1)式可分解为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 1 2 x b B x b B x b B x a A x a A x a A Q x P x − + + − + − + − + + − + − = − −          1 1 2 2 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) M x N M x N M x N x px q x px q x px q    − + + + + + + + + + + + + + (4-3)