·86· 线性代数重点难点、30讲 第16讲 二次型及其矩阵 n个变量组成的二次齐次多项式 a11x1+a22x2+…+a-x2+2a12x1x2+2a13x13…+2a-1.xn-1x 称为一个n元二次型，记为f(x1,x2,…,xn),即 a11a12 al C1 a21a22 …a2 X2 f(x1,x2,…,xn) = :: Lanl a2 … =xTAx (AT=A). 1.化二次型为标准型 二次型f(x1,…,xn)=xAx经过合同变换x=Cy可化为 f=xAx=yCTACy=∑dy2(r≤n), 称为∫的标准形. 二次型的标准形不是唯一的，与所作的合同变换有关，但系数不为零的平方项的个数由 (A的秩)唯一确定，任一实二次型f都可经合同变换化为规范型： f=i+…+--…-2, 其中r为A的秩，p为正惯性指数，r一力为负惯性指数，且规范型唯一， 化二次型为标准型的方法有：配方法、正交变换法： 2.正交变换矩阵的求法 设A是n阶实对称矩阵，按以下步骤进行： (1)求出A的全部特征值1,2，…，入，； (2)对每个入，(i=1,2,…,t),求出(E一A)x=0的一个基础解系i1,a2,…,a; (3)将ai,2,…,a正交化、单位化，得ea1,e2,…,e,它是单位正交向量组，而且是 A的属于入的线性无关的特征向量； (4)以e,e2,…,e1s1,e2,e2,,e22,…,en,…,e为列向量，构造出正交矩阵P,P 即为所求的正交变换矩阵，使P1AP为对角矩阵. 例1用矩阵记号表示下列二次型 (1)f(x1,x2,x3)=x+3x+7x3+2x1x2-4x1x3+x2x3; (2)f(x,y,z)=2x2+y2-4xy-4y2, 解(1)该二次型矩阵为实对称矩阵