5六章定积分 则2x1+e)d=2x=jxh=8 解法二|h1+e)=h(1+e) 2ex+2ex+1) [x+ln(e+2+e-) 因为l(ex+2+e)是偶函数 所以xl(ex+2+e-x)是奇函数。 于是有[,xh(1+e) 22xx+e+2+c 2 解法三用换元法:令x=-t xh(1+e2)dx=l,则有 =tlh(1+e-)d=[[t2-tl(1+e)dt ∫xh(1+e2) t2dr=「t2dh 例12.设/(x)在[b上连续,且满足∫(x)d=0,J。(x)a=0 证明:35,n∈(a,b):f(5)=f(7)=0 [证]证法一:反证法 证法二:罗尔定理:令今F(x)=「f(xx 则F(a)=F()=0→3∈(a,b)F()=f()=0 0=xf(x)x= xdF(x)=xF()a-F(yx 0=F(x→3∈ab)F()=0 F()=F()=F()=0 35152∈(anb)F()=f(5)=0,i=12 第六章定积分第六章 定积分 第六章 定积分 则 3 8 2 ln(1 ) 2 0 2 2 2 2 2 2 + = = = − −  dx x dx x x e dx x [解法二] 2 ln(1 ) 2 1 ln(1 ) x x + e = + e = ln( 2 1) 2 1 2 + + x x e e = [ ln( 2 )] 2 1 x x x e e − + + + 因为 ln( 2 ) x x e e − + + 是偶函数， 所以 ln( 2 ) x x x e e − + + 是奇函数。 于是有 − + 2 2 x ln(1 e ) dx x = 3 8 2 1 [ ln( 2 )] 2 1 2 2 2 2 2 + + + = = − − − x x e e dx x dx x x [解法三] 用换元法:令 x = −t ， 记： x e dx I x + = − 2 2 ln(1 ) ，则有  − − = + 2 2 I t ln(1 e ) dt t = t t e dt t dt I t − + = − − − 2 2 2 2 2 2 [ ln(1 )] 3 8 2 1 ln(1 ) 2 0 2 2 2 2 2 2 = + = = = − −  I x e dx t dt t dt x 例 12．设 f (x) 在 [a,b] 上连续，且满足 ( ) = 0  b a f x dx , ( ) = 0  b a xf x dx 证明:  , (a,b) : f ( ) = f () = 0 . [证] 证法一：反证法. 证法二：罗尔定理：令 ( ) ( )  = x a F x f x dx . 则 F(a) = F(b) = 0   (a,b),F() = f () = 0 ; ( ) ( ) ( )    = = = − b a b a b a b a 0 xf(x) dx xdF x x F x F x dx 0 = ( )   ( , ), ( ) = 0  F x dx  a b F  b a F(a) = F(b) = F( ) = 0 ;   1 , 2 (a,b),F( i ) = f ( i ) = 0, i =1,2