5六章定积分 (1r/A+(Jr 例10,台劳公式的积分形式 /(x)-f(a)=/(dt=-fr(d(-) :-f'(o(x- s+(x-1)/"(dt f(a(x-a)+rod(x-1) f(a(x-a)+u(x-a)+a(x-1"()dt (x-a)+「(x-rm( 若连续则有 (x-)"fm+)( (x-t)'at l ro- ()(x-a==ftom ((-alro 远正是台劳公式的 Lagrange佘项 例1l.计算定积分:[xh(1+e)dx 解法 积分区间对称,能否利用奇、偶函数积分性质? 令∫(x)=xln(1+e3) =f(x=-xIn(1+e)=-xhn(1+e)+x 故f(-x)≠-f(x),即f(x)非奇非偶。 但f(-x)=-/f(x)+x2→f(x)=-f(-x)+x g(x)=f(x) 2=1()-(x 2 是奇函数 0=,g(x)dx=,{(x)--}dx 第六章定积分第六章 定积分 第六章 定积分 = ( ) ( )         − − − += n k k n 1 2k 1 1 4 1  例 10, 台劳公式的积分形式: ( )   − =  = −  − x a x a f (x) f (a) f (t)dt f (t)d x t = ( ) ( )  −  − + −  = = x a t x t a f (t) x t x t f (t)dt = ( ) ( )   − −  − + x a f a x a f t d x t 2 ( ) 2! 1 ( ) = ( ) ( ) ( )  − + −    − + x a x a x t f t dt f a f a x a ( ) 2! 1 2! ( ) ( ) 2 2 = ( ) ( ) ( ) ( )   + = − + − x a n n n k n n x t f t dt n x a n f a ( ) ! 1 ! ( ) 1 1 若连续则有： ( ) ( ) ( ) ( )   − = − + + x a n x n a n n x t dt n f x t f t dt n ! ( ) ( ) ! 1 1 1  = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1! ( ) ! 1 ( ) + + + + − + = + − n n n n x a n f n x a n f   . 远正是台劳公式的 Lagrange 佘项 例 11．计算定积分： − + 2 2 x ln(1 e )dx x [解法一] 积分区间对称，能否利用奇、偶函数积分性质？ 令 ( ) ln(1 ) x f x = x + e  2 f ( x) xln(1 e ) xln(1 e ) x x x − = − + = − + + −  ( ) 2 f (−x) = − f x + x 故 f (−x)  − f (x) ， 即 f (x) 非奇非偶。 但 ( ) 2 f (−x) = − f x + x  ( ) 2 f (x) = − f − x + x  ( ) ( )         − = − = − − − 2 2 ( ) ( ) 2 2 x f x x g x f x 是奇函数 − − = = − 2 2 2 2 2 } 2 0 ( ) { ( ) dx x g x dx f x