3x2-3y2-69y+6y2y=3x-yx+y-2w)=0 由于x=y不满足原来的方程，又y=)是可导函数，因此 x-y≠0，x+y-2y=0, 即会-.令会=0，得x+=0,与原二元方程我立求解可得=2,2，由此可 知，函数y=fx)有唯一可能的极值点x=-2,又因为 因此由函数取得极值的第二充分条件知，函数y=∫(x)有唯一的极小值2，没有极大值， 注求极值的步骤： (1)找出全部可能的极值点（包括驻点和一阶导数不存在的点）： (2)对可能的极值点，利用函数取得极值的第一或第二充分条件判定： (3)求极值. 例31设两数/= 解先求出可能的极值点，再判别函数在这些点是否取得极值 当x>0时， f(x)=(x)=(e"y=(2Inx+2)e=2x"(nx+D): 当x<0时，fx)=(x+2y=1,因为1imfx)=2且 )=p产=me2=2=p←2=1， 可见fx)在x=0点不连续，所以f"(O)不存在，于是有 2x2(0mx+),x>0 )=L x<0' 令f()=0,即2r2nx+)=0,得x=e1.所以可能的极值点为x=e和x=0,将定义 域分成三个部分区间(-o,0),(0,e,(e,+o),列表如下： (-,0)0(0,e)e1(e,+o) f() 不存在1 0 1(x) 2 由此可知f)在x=e处取得极小值，极小值为fe=e，显然，经过x=0点时，导数 2 2 2 3 3 6 6 3( )( 2 ) 0 x y xyy y y x y x y yy − − + = − + − =    ． 由于 x y = 不满足原来的方程，又 y f x = ( ) 是可导函数，因此 x y −  0， x y yy + − = 2 0  ， 即 2 dy x y dx y + = ．令 0 dy dx = ，得 x y + = 0 ，与原二元方程联立求解可得 x =−2 ， y = 2 ，由此可 知，函数 y f x = ( ) 有唯一可能的极值点 x =−2 ．又因为 2 2 2 2 d y y xy dx y −  = ， 故 2 2 2 2 1 0 x 4 y d y dx =− = =  ， 因此由函数取得极值的第二充分条件知，函数 y f x = ( ) 有唯一的极小值 2，没有极大值． 注 求极值的步骤： （1）找出全部可能的极值点（包括驻点和一阶导数不存在的点）； （2）对可能的极值点，利用函数取得极值的第一或第二充分条件判定； （3）求极值． 例 31 设函数 2 , 0 ( ) 2, 0 x x x f x x x   =   +  ，求 f x( ) 的极值． 解 先求出可能的极值点，再判别函数在这些点是否取得极值． 当 x  0 时， 2 2 ln 2 ln 2 ( ) ( ) ( ) (2ln 2) 2 (ln 1) x x x x x x f x x e x e x x    = = = + = + ； 当 x  0 时， f x x   ( ) ( 2) 1 = + = ，因为 0 lim ( ) 2 x f x → − = 且 2 2 ln 0 0 0 lim ( ) lim lim x x x x x x f x x e → → → + + + = = 0 0 2ln exp(lim ) exp[lim( 2 )] 1 x x 1 x x x → → + + = = − = ， 可见 f x( ) 在 x = 0 点不连续，所以 f (0) 不存在，于是有 2 2 (ln 1) , 0 ( ) 1, 0 x x x x f x x  +   =    ， 令 f x ( ) 0 = ，即 2 2 (ln 1) 0 x x x + = ，得 1 x e − = ．所以可能的极值点为 1 x e − = 和 x = 0 ，将定义 域分成三个部分区间 ( , 0) − ， 1 (0, ) e − ， 1 ( , ) e − + ，列表如下： 由此可知 f x( ) 在 1 x e − = 处取得极小值，极小值为 2 1 ( ) e f e e − − = ，显然，经过 x = 0 点时，导数 x ( , 0) − 0 1 (0, ) e − 1 e − 1 ( , ) e − + f x ( ) ＋ 不存在 － 0 + f x( ) ↗ 2 ↘ 2 e e − ↗