了x)的符号由正号变为负号，即x=0点为极大值点，函数的极大值为f0)=2 例3203研 设函数f八x)在（←0，+）内连续，其导函数图形如图31所 示，则fx)有(). A.一个极小值点和两个极大值点。 B.两个极小值点和一个极大值点 C.两个极小值点 和两个极 D.三个极小值点和一个极大值点 图3-1 分析由)的导函数图形可知导函数何时大于零、等于零、小于零，从而可知(x) 的单调性，进一步可推知其极值。 解选C.由图形可看出，一阶导数为零的点有3个，而x=0则是导数不存在的点.三 个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个为极小值点，一个为极 大值点，在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故∫)有 两个极小值点和两个极大值点，应选C 例33讨论方程nx=(a>0)在(0，+o)内有几个实根？ 分析如果对函数x)的单调性、极值、最值等问题讨论清楚了，则其零点也就弄明 白了，讨论方程nx=a(a>0)在(0，+o)内有几个实根等价于讨论f(x)=nx-a在 骨个在a,则只活时论数花a的个数.由 f(x)= -a=0. 1 解得列表 0,a (后，+m) (x) 0 f() n(-l 由此可知fx)在(0，之上单调递增，在，+o)上单调递减，且f白=-na+)是函数的 最大值，由m)=mnx-am)=0,及m)=imx-a明=-0，可得（D 当白<0，即a>时，f)<f白<0，函数)没有零点，故方程没有实根.(2)当 了白=0，即a=时，函数f)仅有一个零点，故方程nx=m只有惟一实根x=。e.(3) 当f分>0，即0<a<时，由f白>0，im)=-0,知x)在0，内至少有-个f x ( ) 的符号由正号变为负号，即 x = 0 点为极大值点，函数的极大值为 f (0) 2 = ． 例 32 （03 研） 设函数 f x( ) 在 ( , ) − + 内连续，其导函数图形如图 3-1 所 示，则 f x( ) 有（ ）． A．一个极小值点和两个极大值点． B．两个极小值点和一个极大值点． C．两个极小值点和两个极大值点． D．三个极小值点和一个极大值点． 图 3－1 分析 由 f x( ) 的导函数图形可知导函数何时大于零、等于零、小于零，从而可知 f x( ) 的单调性，进一步可推知其极值． 解 选 C． 由图形可看出，一阶导数为零的点有 3 个，而 x = 0 则是导数不存在的点．三 个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个为极小值点，一个为极 大值点，在 x = 0 左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见 x = 0 为极大值点，故 f x( ) 有 两个极小值点和两个极大值点，应选 C． 例 33 讨论方程 ln ( 0) x ax a =  在 (0, ) + 内有几个实根？ 分析 如果对函数 f x( ) 的单调性、极值、最值等问题讨论清楚了，则其零点也就弄明 白了，讨论方程 ln ( 0) x ax a =  在 (0, ) + 内有几个实根等价于讨论 f x x ax ( ) ln = − 在 (0, ) + 内有几个零点． 解 设 f x x ax ( ) ln = − ，则只需讨论函数 f x x ax ( ) ln = − 零点的个数．由 1 f x a ( ) 0 x  = − = ， 解得 1 x a = ．列表： 由此可知 f x( ) 在 1 (0 ] , a 上单调递增，在 1 [ , ) a + 上单调递减，且 1 f a ( ) (ln 1) a = − + 是函数的 最大值，由 0 0 lim ( ) lim(ln ) x x f x x ax → → + + = − = − ，及 ln lim ( ) lim [ ( )] x x x f x x a →+ →+ x = − = − ，可得（1） 当 1 f ( ) 0 a  ，即 1 a e  时， 1 f x f ( ) ( ) 0 a   ，函数 f x( ) 没有零点，故方程没有实根．（2）当 1 f ( ) 0 a = ，即 1 a e = 时，函数 f x( ) 仅有一个零点，故方程 ln x ax = 只有惟一实根 1 x e a = = ．（3） 当 1 f ( ) 0 a  ，即 1 0 a e   时，由 1 f ( ) 0 a  ， 0 lim ( ) x f x → + = − ，知 f x( ) 在 1 ( , 0 ) a 内至少有一个 x 1 ( , 0 ) a 1 a 1 ( , ) a + f x ( ) ＋ 0 － f x( ) ↗ 1 ln( ) 1 a − ↘ x y o