零点.又f)在(0，)内单调递增，所以fx)在(0，马)内仅有一个零点，即方程nx=m在 (0,内只有一个实根.同理方程nx=在（合+四内也只有一个实根。故当0<a<时， 方程nx=x恰有两个实根. 例34证明不等式：当0<x<花时，sinx>2x. 分析证明不等式可用拉格朗日中值定理、函数的单调性和最值及凹凸性等. 证法1（用单调性证明）令f=snx,则 -Xcosx-sin cosx(-tan) 令=-m,则p=所以在写肉，po)c0,面0=0，所以小<0. 从而可知f)<0,故f)单调减少，由此得/x)>f(号，即sinx>二x 证法2（佣四凸性证明）设g)=s血x-2产，则 g0=sx-子870=-x<0 所以g)的图形是凸的.又g0=g受=0，因此g)>0,即si血x>2x 证法3（用最值证明）设Fx)=snx-2红，则由闭区间上连续函数的性质知Fx)在 [0,可取到最大最小值. F=osx-2,令F=0,得F)在O受内的唯一驻点=arccos是，又因为 F)=-sin,当0<x<号时，有F)<0.所以F)在点6=rcos2处取得极大值.因 此Fx)在0，上的最小值必在端点处取得，这是因为F)在(0，内没有极小值，又由 于FO)=F()=0,所以F(x)的最小值为零，因此，在(0，)内必有 F(x)>FO)=0, 即sinx>三x.证毕. 例35证明：当x>0,y>0时，有不等式xnx+lny2(x+)n,且等号仅当 x=y时成立. 分析将不等式两端同除以2，转化为血血之生如宁号.可以看出，左端是 2 函数f0=1在x,y两点取值的平均值，而右端是它在中点十上处的函数值.因此， 可用函数图形的四凸性来证明. 零点．又 f x( ) 在 1 ( , 0 ) a 内单调递增，所以 f x( ) 在 1 ( , 0 ) a 内仅有一个零点，即方程 ln x ax = 在 1 ( , 0 ) a 内只有一个实根．同理方程 ln x ax = 在 1 ( , ) a + 内也只有一个实根．故当 1 0 a e   时， 方程 ln x ax = 恰有两个实根． 例 34 证明不等式：当 0 2 x    时， 2 sin x x   ． 分析 证明不等式可用拉格朗日中值定理、函数的单调性和最值及凹凸性等． 证法 1 （用单调性证明）令 sin ( ) x f x x = ，则 2 2 cos sin cos ( tan ) ( ) x x x x x x f x x x − −  = = ， 令 ( ) tan x x x = − ，则 2 2 sin ( ) cos x x x  −  = ．所以在 (0, ) 2  内， ( ) 0 x  ，而 (0) 0 = ，所以 ( ) 0 x  ， 从而可知 f x ( ) 0  ，故 f x( ) 单调减少，由此得 ( ) ( ) 2 f x f   ，即 2 sin x x   ． 证法 2 （用凹凸性证明）设 2 ( ) sin x g x x  = − ，则 2 g x x ( ) cos   = − ， g x x ( ) sin 0 = −  ． 所以 g x( ) 的图形是凸的．又 (0) ( ) 0 2 g g  = = ，因此 g x( ) 0  ，即 2 sin x x   ． 证法 3 （用最值证明）设 2 ( ) sin x F x x  = − ，则由闭区间上连续函数的性质知 F x( ) 在 [0, ] 2  可取到最大最小值． 2 F x x ( ) cos   = − ，令 F x ( ) 0 = ，得 F x( ) 在 (0, ) 2  内的唯一驻点 0 2 x arccos  = ，又因为 F x x ( ) sin = − ，当 0 2 x    时，有 F x ( ) 0  ．所以 F x( ) 在点 0 2 x arccos  = 处取得极大值．因 此 F x( ) 在 [0, ] 2  上的最小值必在端点处取得，这是因为 F x( ) 在 (0, ) 2  内没有极小值．又由 于 (0) ( ) 0 2 F F  = = ，所以 F x( ) 的最小值为零，因此，在 (0, ) 2  内必有 F x F ( ) (0) 0  = ， 即 2 sin x x   ．证毕． 例 35 证明：当 x  0 ， y  0 时，有不等式 ln ln ( )ln 2 x y x x y y x y + +  + ，且等号仅当 x y = 时成立． 分析 将不等式两端同除以 2 ，转化为 ln ln ln 2 2 2 x x y y x y x y + + +  ．可以看出，左端是 函数 f t t t ( ) ln = 在 x ， y 两点取值的平均值，而右端是它在中点 2 x y + 处的函数值．因此， 可用函数图形的凹凸性来证明．