证明设f0=lnt,则在(0，+∞)内有f"0=1+ln1,了)=，>0，从而函数f0=1n1 的图形是四的.故对任意x>0,y>0且x,有凸<但成立，即 2 hy,号n空成立. 2 当x=y时，等号显然成立.于是有xnx+yny≥x+)h+上，且等号仅当x=y时 成立.证毕。 例的量有三珍连续号数，且0-0，学侣1则（上 A.fO是fx)的极大值.B.fO)是fx)的极小值.C.(0,fO)是曲线y=fx)的 拐点.D.∫O)不是f)的极值，O,fO)也不是曲线y=f)的拐点. 分析要讨论函数)的极值与四凸性，则要讨论f0)、O)的正负号。 解意县由题设吗骨-1，可得回了闭-0，且由保号性知存在：0价某都线 使得(x)≥0，即在(0，∫0)的左、右两侧都是上凹的，故(0，f0)不是拐点，排除C.由 拉格朗日中值定理可得f(x)-fO=(x,其中E介于0与x之间，由于f(O)=0,故 例37求内接于号+若=1且四边平行于x轴和y轴的面积最大的矩形a,6>0) 安香安有变餐实要的资皆茶际药后我开作的应的E用用为所 S=4o=4-7,0<x<a, 由56-若令50得鞋点，雨当0时。小 S>0:当受<a时，S<0,所以-受为S的最大值点.因而所求矩形在 2 第一象限的原点坐标为（受，受。最大矩形面积为2。 例3指绘函数)十的图形 解(1)求函数的定义域。定义域为(-0，-)，(-L+0)· (2)求渐近线。因为，巴)=0，故x=-是一条铅直渐近线，而由m心)=0 可知无水平有近线又因为-可1， 3证明 设 f t t t ( ) ln = ，则在 (0, ) + 内有 f t t ( ) 1 ln = + ， 1 f t( ) 0 t  =  ，从而函数 f t t t ( ) ln = 的图形是 凹的．故 对任意 x  0 ， y  0 且 x y  ，有 ( ) ( ) ( ) 2 2 x y f x f y f + +  成立，即 ln ln ln 2 2 2 x x y y x y x y + + +  成立． 当 x y = 时，等号显然成立．于是有 ln ln ( )ln 2 x y x x y y x y + +  + ，且等号仅当 x y = 时 成立．证毕． 例 36 设 f x( ) 有二阶连续导数，且 f (0) 0 = ， 0 ( ) lim 1 | | x f x → x  = ，则（ ）． A． f (0) 是 f x( ) 的极大值． B．f (0) 是 f x( ) 的极小值．C．(0, (0)) f 是曲线 y f x = ( ) 的 拐点． D． f (0) 不是 f x( ) 的极值， (0, (0)) f 也不是曲线 y f x = ( ) 的拐点． 分析 要讨论函数 f x( ) 的极值与凹凸性，则要讨论 f (0) 、 f (0) 的正负号． 解 选 B．由题设 0 ( ) lim 1 | | x f x → x  = ，可得 0 lim ( ) 0 x f x →  = ，且由保号性知存在 x = 0 的某邻域 使得 f x ( ) 0  ，即在 (0, (0)) f 的左、右两侧都是上凹的，故 (0, (0)) f 不是拐点，排除 C．由 拉格朗日中值定理可得 f x f f x    ( ) (0) ( ) − =  ，其中  介于 0 与 x 之间，由于 f (0) 0 = ，故 f x f x   ( ) ( ) =  ，而 f x ( ) 0  ，从而可知当 x  0 时， f x( ) 单调递减，当 x  0 时， f x( ) 单调 递增，由此可知 f (0) 是 f x( ) 的极小值，选 B． 例 37 求内接于 2 2 2 2 1 x y a b + = 且四边平行于 x 轴和 y 轴的面积最大的矩形 ( , 0) a b  ． 分析 首先要求出矩形面积的表达式，然后求其最大值，此时对应的矩形即为所求． 解 设所求矩形在第一象限的顶点坐标为 ( , ) x y ，则矩形的面积为 2 2 ( ) 4 4 1 x S x xy bx a = = − ，(0 )  x a ， 由 2 2 2 2 2 4 ( ) 4 1 x bx S x b a a a x  = − − − ， 令 S x ( ) 0 = 得驻点 2 2 a x = ，而当 2 0 2 a  x 时 ， S x ( ) 0  ；当 2 2 a  x a 时， S x ( ) 0  ．所以 2 2 a x = 为 S x( ) 的最大值点．因而所求矩形在 第一象限的顶点坐标为 2 2 ( , ) 2 2 a b ，最大矩形面积为 2ab ． 例 38 描绘函数 3 2 ( 1) x y x = + 的图形． 解（1）求函数的定义域．定义域为 ( , 1) − − ，( 1, ) − + ． （2）求渐近线． 因为 lim ( ) 1 f x x =  →− ，故 x =−1 是一条铅直渐近线，而由 lim ( ) x f x → =  可知无水平渐近线，又因为 3 2 ( ) lim lim 1 (1 ) x x f x x → → x x x = = +