推论设V是n=2m维辛空间,则在V内存在一组基1,E2,,En,其度量矩阵为 E 0 其中E为m阶单位矩阵这种基称为第二类辛基. 证明设n,2,…,mn是V的一组第一类辛基令 E1=121-1,Em+=21,(=1,2,…m) 通过计算,不难验证E,E2,,En即为所求的基 定义设V是n=2m维辛空间,A是V上一个线性变换.如果A满足 (Aa,AB)=(a,B)Va,B∈V 则称A是V内一个辛变换(偶数维辛空间上的正交变换 命题偶数维辛空间上的线性变换A是辛变换的充分必要条件是A可逆且它的逆等于它 的共轭变 证明如果A是辛变换,则a,B∈V,有 (Aa, a B)=(a,AAB)=(a, B) 从而(a,AAE)B)=0,由于内积是满秩的,故(AAE)B=0对VB∈V成立故A"AE,A 可逆且它的逆等于它的共轭变换 反之,若A可逆且它的逆等于它的共轭变换,则有 (Aa,aB)=(a,AAB)=(a,B) A是辛变换 设A是辛空间V内一个辛变换,又设E1,n2E2n2,…,En,7n为V内一组第一类辛基此 时其度量矩阵为 01 01 A在此组基下的矩阵为A,则有AJA=J.满足此条件的n=2m阶复方阵A称为一个2m阶辛矩 阵推论 设 V 是 n=2m 维辛空间,则在 V 内存在一组基 1 2 n  ， ，， ,其度量矩阵为       − E 0 0 E 其中 E 为 m 阶单位矩阵.这种基称为第二类辛基. 证明 设 1，2，，n 是 V 的一组第一类辛基.令 , ,(i 1,2, ,m)  i =2i−1  m+i =2i =  通过计算,不难验证 1 2 n  ， ，， 即为所求的基. 定义 设 V 是 n=2m 维辛空间,A 是 V 上一个线性变换.如果 A 满足 (A  ,A  )=(  ,  )   ,   V 则称 A 是 V 内一个辛变换(偶数维辛空间上的正交变换）. 命题 偶数维辛空间上的线性变换A 是辛变换的充分必要条件是A 可逆且它的逆等于它 的共轭变换. 证明 如果 A 是辛变换,则  ,   V,有 (A  ,A  )=(  ,A  A  )=(  ,  ) 从而(  ,(A  A-E)  )=0,由于内积是满秩的,故(A  A-E)  =0 对    V 成立.故 A  A=E,A 可逆且它的逆等于它的共轭变换. 反之,若 A 可逆且它的逆等于它的共轭变换,则有 (A  ,A  )=(  ,A  A  )=(  ,  ) A 是辛变换. 设 A 是辛空间 V 内一个辛变换,又设 1 1 2 2 m m  , , , ,  , , 为 V 内一组第一类辛基.此 时其度量矩阵为               − − = 1 0 0 1 1 0 0 1 J  A 在此组基下的矩阵为 A,则有 AJA = J .满足此条件的 n=2m 阶复方阵 A 称为一个 2m 阶辛矩 阵