例5.5.4用铝合金制造容积固定的圆柱形罐头,罐身(侧面和 底部)用整块材料拉制而成,顶盖是另装上去的,设顶盖的厚度是罐 身厚度的三倍。问如何确定它的底面半径和高才能使得用料最省? 解设罐身的厚度为δ,则顶盖的厚度是3δ 记罐头的容积为〃,底面半径为r,则高为h=2。于是,罐身的 用料为 U1()=6(m2+2mrh)=6|r2+2 顶盖的用料为 U2(r)=3mr2, 因此问题化为求函数 U(r)=U1(r)+U2(r)=6|4m2+2 的最小值。例 5.5.4 用铝合金制造容积固定的圆柱形罐头，罐身（侧面和 底部）用整块材料拉制而成，顶盖是另装上去的，设顶盖的厚度是罐 身厚度的三倍。问如何确定它的底面半径和高才能使得用料最省？ 解 设罐身的厚度为 ，则顶盖的厚度是 3 。 记罐头的容积为V ，底面半径为r ，则高为h V r =  2 。于是，罐身的 用料为 ( ) 2 2 1 ( ) π 2π π 2 , V U r r rh r r     = + = +     顶盖的用料为 2 2 U r r ( ) 3 = π , 因此问题化为求函数 2 1 2 ( ) ( ) ( ) 4π 2 V U r U r U r r r    = + = +    ，r  (0,+) 的最小值