大学物理练习册一导体和电介质中的静电场 (3)左右两侧电容分别为C1=5S C,s06 两电容并联C=C1+C40D 2d (E+Er2) 8-9由半径为R2的外导体球面和半径为R1的内导体球面组成的球形电容器中间,有一层厚度为d、相对介电 常数为的电介质,其中d<R2—R1,求该电容器的电容 解:设两倒替球面分别带电荷+Q和-Q。由高斯定理 R,<r<R+d: E td<r<r 4 4丌E。r 两球壳间的电势差为 图8-9 AU=Ed=E:dF+。E2dF= dr+ Q 4e. r I+d 4 eor 4x44)+(1=9Bd+4R(R-R-d R+d R2 4E。E,RR2(R1+d) C O 4TEoE,R,R,(R,+d) U R2d+E, R(R2-R-d 电场能量 8-10一个电容器电容C1=200μF,用电压=1000V的电源给该电容器充电,然后拆下电源,并用另一不带 电的电容器C2接于原来电源处,已知C2=500μF。求:(1)两电容器各带电多少?(2)C1两端电势 差多大?(3)C能量损失多少? 解:(1)两电容并联后总电量不变。设C1、C2各带电Q1、Q2,有 旦92 Q1+Q2=Q=CV,解得Q1 ×10-6×103=16×10-2C C 20+5 O2=C-Q1=20×10°×103-1.6×102=4×10C Q11.6×102 (2)C1两端的电势差V1== C120×10=800V (3)能量损失 △W=Cr2-C1+C2)2=×20×106×(1 20+5)×106×8002=2J 8-1两同轴圆柱面,长度均为,半径分别为a和b,两圆柱面之间充有相对介电常数为G的均匀电介质。当 这两个圆柱面带有等量异号电菏+Q和-Q时,求:(1)在半径为处(a<r<b),电场的能量密度是多 ?r处厚度为d、长度为的圆柱簿壳中的电场能量为多少?(2)电介质中的总电能是多少?能否 从总电场能量推算出圆柱形电容器的电容?(不计边缘效应) 解:(1)由高斯定理可得r处得电场强度大小为E=1Q 电场能量密度,w=1B2=1(2 2l8n2a22大学物理练习册—导体和电介质中的静电场 （3）左右两侧电容分别为 d S C r 2 0 1 1 ε ε = ， d S C r 2 0 2 2 ε ε = ，两电容并联 ( ) 2 1 2 0 1 2 r r d D C C C ε ε ε = + = + 8-9 由半径为R2的外导体球面和半径为R1的内导体球面组成的球形电容器中间，有一层厚度为d、相对介电 常数为εr的电介质，其中d＜R2—R1，求该电容器的电容。 解：设两倒替球面分别带电荷 + Q 和 − Q 。由高斯定理 R1 < r < R1 + d ： 0 2 0 1 4 r r Q E r v v πε ε = ； 1 R2 R + d < r < ： 0 2 0 2 4 r r Q E v v πε = 两球壳间的电势差为 U E l E r E r R R d R d R R R v v v v v v d d d 2 1 1 1 2 1 1 2 ∆ = ⋅ = ⋅ + ⋅ ∫ ∫ ∫ + + ∫ ∫ + + = + 2 1 1 1 d 4 d 4 2 0 2 0 R R d R d R r r r Q r r Q πε ε πε O R R1+d R2 εr 图 8-9 )] 1 1 ) ( 1 1 ( 1 [ 4 0 R1 R1 d R1 d R2 Q r − + + + = − πε ε 4 ( ) [ ( )] 0 1 2 1 2 1 2 1 R R R d Q R d R R R d r r + + − − = πε ε ε ( ) 4 ( ) 2 1 2 1 0 1 2 1 R d R R R d R R R d U Q C r r + − − + = ∆ ∴ = ε πε ε 电场能量 8-10 一个电容器电容C1＝20.0µF，用电压V=1000V的电源给该电容器充电，然后拆下电源，并用另一不带 电的电容器C2接于原来电源处，已知C2＝5.00 µF。求：（1）两电容器各带电多少？（2）C1两端电势 差多大？（3）C1能量损失多少？ 解：（1）两电容并联后总电量不变。设C1、C2各带电Q1、Q2，有 2 2 1 1 C Q C Q = ，Q1 + Q2 = Q = C1 V ，解得 10 10 1.6 10 C 20 5 20 6 3 2 2 1 2 2 1 1 − − × × = × + = + = V C C C Q 20 10 10 1.6 10 4 10 C 6 3 2 -3 2 = 1 − 1 = × × − × = × − − Q C V Q （2）C1两端的电势差 800V 20 10 1.6 10 6 2 1 1 1 = × × = = − − C Q V （3）能量损失 (20 5) 10 800 2J 2 1 20 10 (10 ) 2 1 ( ) 2 1 2 1 2 6 3 2 6 2 1 2 1 2 ∆ = 1 − + = × × × − × + × × = − − W C V C C V 8-11 两同轴圆柱面，长度均为l，半径分别为a和b，两圆柱面之间充有相对介电常数为εr的均匀电介质。当 这两个圆柱面带有等量异号电菏+Q和-Q时，求：（1）在半径为r处（a＜r＜b)，电场的能量密度是多 少？ r处厚度为dr、长度为l的圆柱簿壳中的电场能量为多少？（2）电介质中的总电能是多少？能否 从总电场能量推算出圆柱形电容器的电容？（不计边缘效应） 解：（1）由高斯定理可得 r 处得电场强度大小为 rl Q r E πε πε λ 2 2 = = 电场能量密度， 2 2 2 2 2 2 8 ) 2 ( 2 1 2 1 r l Q rl Q w E πε π ε = ε = ε = 38