2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 结论不一定不成立。在考试中,极限的运算法则的运用错误是常见错误,应特别注意避免 这类错误。 2.5.2解析性质及复合极限定理 函数极限具有一些重要的解析性质,主要包括极限的保序性(保号性)与复合极限定 理,掌握这些性质对处理极限以及后续的微分与积分内容会有较大帮助。下面给出这些性质 均以x→xn的情形为例。 定理2.5极限的保序性(保号性) 若lim∫(x)=A>0,则在x0的附近(除去x)某区间内必然有f(x)>0。换言 之,若imf(x)=A>0,则存在x的去心邻域N(x,)={x0<x-x<66>0}, 使当x∈N(x0,)时,必然有f(x)>0。又若limf(x)=A<0,则在x0的附近(除 去x0)某区间内必然有f(x)<0 【证】由lim∫(x)=A>0,则vE>0,都存在某个常数A与δ>0 使当0<x-x<6时,恒有|(x)-4<E或A-E<f(x)<A+E 特别取E=>0,则<f()3 A A 于是有f(x) 由此性质,可以推论:若limf(x)=A,limg(x)=B,且A>B,则存在x的 某去心邻域N(x0,)={x0<x-x。<6,0>0,使当x∈N(x,6)时 有∫(x)>g(x)。并且,进一步有如下推论 极限保序性的逆(请读者自行练习证明) 若在x0的附近(除去x0)某区间内∫(x)>0,且极限lim∫(x)存在,则 imf(x)=A≥0;而当在x0的附近(除去x)某区间内∫(x)<0时,则 f(x)=A≤0 定理2.6有界性 若极限lim∫(x)存在,则∫(x)在x0的附近(除去x)某区间内有界 定理2.7复合极限定理 若limf(u)=A,=(x),im(x)=L0,x≠x时,a≠l,则 lim∫(u(x)=A (2.3) 复合极限定理,也适用于序列的极限运算。这一定理可以使得极限计算变的更加快捷 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 4网址:www.tsinghuatutor.com电话823788052008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 结论不一定不成立。在考试中，极限的运算法则的运用错误是常见错误，应特别注意避免 这类错误。 2．5．2 解析性质及复合极限定理 函数极限具有一些重要的解析性质，主要包括极限的保序性（保号性）与复合极限定 理，掌握这些性质对处理极限以及后续的微分与积分内容会有较大帮助。下面给出这些性质 均以 的情形为例。 x → x0 定理 2.5 极限的保序性（保号性） 若 ，则在 的附近（除去 ）某区间内必然有 。换言 之，若 ，则存在 的去心邻域 0 0 = > → f x A x x lim ( ) x0 x0 f ( x) > 0 0 0 = > → f x A x x lim ( ) x0 ( 0 , ) { 0 , } N x0 δ = x < x − x0 < δ δ > ， 使当 ( ,δ ) x ∈ N x0 时，必然有 f ( x) > 0 。又若 0 0 = < → f x A x x lim ( ) ，则在 的附近（除 去 ）某区间内必然有 。 x0 x0 f ( x) < 0 【证】 由 0 ，则 0 = > → f x A x x lim ( ) ∀ε > 0，都存在某个常数 A 与δ > 0， 使当0 < x − x0 < δ 时，恒有 f (x) − A < ε 或 A − ε < f (x) < A + ε 。 特别取 0 2 = > A ε ，则 2 3 ( ) 2 A f x A < < ，于是有 0 2 ( ) > > A f x 。 由此性质，可以推论： 若 f x A x x = → lim ( ) 0 ， g x B x x = → lim ( ) 0 ，且 A > B ，则存在 的 某去心邻域 x0 ( 0 , ) { 0 , } N x0 δ = x < x − x0 < δ δ > ，使当 ( ,δ ) x ∈ N x0 时， 有 f ( x) > g( x) 。并且，进一步有如下推论： 极限保序性的逆（请读者自行练习证明） 若在 的附近（除去 ）某区间内 ，且极限 存在，则 ；而当在 的附近（除去 ）某区间内 时 ， 则 。 x0 x0 f ( x) > 0 lim f (x) x→x0 0 0 = ≥ → f x A x x lim ( ) x0 x0 f ( x) < 0 0 0 = ≤ → f x A x x lim ( ) 定理 2.6 有界性 若极限 lim f (x)存在，则 在 的附近（除去 ）某区间内有界。 x→x0 f ( x) x0 x0 定理 2.7 复合极限定理 若 lim f (u) A, u u(x) u u = = → 0 , 0 0 u x u x x = → lim ( ) ， x ≠ x0 时 ， u ≠ u0 ， 则 f u x A x x = → lim ( ( )) 0 （2.3） 复合极限定理，也适用于序列的极限运算。这一定理可以使得极限计算变的更加快捷 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 4 网址：www.tsinghuatutor.com 电话 82378805