2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 定理2.2极限lim∫(x)=A(或∞,±)存在的充要条件是:imf(x)=A与 im∫(x)=B都存在,且A=B 2.3极限存在的准则 2.3.1单调有界准则 定理2。3设函数y=f(x)在区间(a,a+)(δ>0)内有定义且单调减有下界 则右极限lim∫(x)=A存在。而当函数y=f(x)在区间(a-,a)(>0)内有定义且 单调增有上界时,左极限lim∫(x)=A存在 2.3.2夹逼准则 定理24设函数y=f(x)与g(x),px)在区间(a-6,a+)(d>0)内有定义且满足 p(x)<f(x)<g(x),若lmg(x)=limp(x)=A存在,则lmf(x)=A存在 2.3.3无穷小量与有界函数的乘积的极限存在,且仍为无穷小量。即 设∫(x)在某种趋向下有界,例如,若存在某个常数M>0, x∈(0,+∞)都有f(x)≤M,lim(x)=0,则limf(x)(x)=0 这可以作为极限存在的准则来应用。 两个标准极限 利用上述两个准则可以得到下述两个标准极限(重要极限 lim sinr 1 标准极限1 =1标准极限2 lim(l+x)=e 2.5函数极限的性质 2.5.1运算性质(以下各条均适用于x→,∞的情形) (1)设limf(x)=A,C为实常数,则lim(C·f(x)=CA (2)设limf(x)=A,img(x)=B,则lm((x)±g(x)=A±B (3)设limf(x)=A,img(x)=B,则im((x)g(x)=AB (4)设Iim∫(x)=A,g(x)≠0,img(x)=B≠0,则Imnf(x)=4 x-x g(x) B (5)设lim∫(x)=∞,∫(x)≠0,则lim 0 利用上述运算性质可以计算或判断某些极限。为方便计算,遇到无穷大量时,应设法将 无穷大量转化为无穷小量。上述运算性质的命题形式均为充分条件,不满足前面条件时, 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 3网址:www.tsinghuatutor.com电话823788052008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 定理 2.2 极限 f x A （或 x x = → lim ( ) 0 ∞, ± ∞ ）存在的充要条件是： 与 都存在，且 f x A x x = → + lim ( ) 0 f x B x x = → − lim ( ) 0 A = B 。 2．3 极限存在的准则 2．3．1 单调有界准则 定理 2。3 设函数 y = f ( x) 在区间 (a, a + δ ) （ δ > 0 ）内有定义且单调减有下界， 则右极限 f x A x a = → + lim ( ) 存在。而当函数 y = f (x) 在区间(a − δ ,a)（δ > 0 ）内有定义且 单调增有上界时，左极限 f x A x a = → − lim ( ) 存在。 2．3．2 夹逼准则 定理 2.4 设函数 y = f ( x) 与 g( x),φ( x) 在区间(a − δ , a + δ )（δ > 0 ）内有定义且满足 φ( x) < f (x) < g( x) ，若 g x x A x a x a = = → → lim ( ) limφ( ) 存在，则 f x A存在。 x a = → lim ( ) 2．3．3 无穷小量与有界函数的乘积的极限存在，且仍为无穷小量。即 设 f (x) 在某种趋向下有界，例如，若存在某个常数 M > 0， ∀x ∈ (0, + ∞) 都有 f (x) ≤ M ， lim ( ) = 0 →+∞ g x x ，则 lim ( ) ( ) = 0 →+∞ f x g x x 。 这可以作为极限存在的准则来应用。 2．4 两个标准极限 利用上述两个准则可以得到下述两个标准极限（重要极限） 标准极限 1 1 0 = → x x x sin lim 标准极限 2 x e x x + = → 1 0 lim(1 ) 2．5 函数极限的性质 2．5．1 运算性质（以下各条均适用于 x → ±∞, ∞ 的情形） （1）设 f x A ，C 为实常数，则 x x = → lim ( ) 0 (C f x ) CA x x ⋅ = → lim ( ) 0 。 （2）设 f x A ， x x = → lim ( ) 0 g x B x x = → lim ( ) 0 ，则 ( f x g x ) A B x x ± = ± → lim ( ) ( ) 0 （3）设 f x A ， x x = → lim ( ) 0 g x B x x = → lim ( ) 0 ，则 ( f x g x ) AB x x ⋅ = → lim ( ) ( ) 0 。 （4）设 f x A ， x x = → lim ( ) 0 g(x) ≠ 0 ， 0 0 = ≠ → g x B x x lim ( ) ，则 B A g x f x x x = → ( ) ( ) lim0 。 （5）设 0 0 = ∞ ≠ → lim f (x) , f (x) x x ，则 0 1 0 = → ( ) limx x f x 。 利用上述运算性质可以计算或判断某些极限。为方便计算，遇到无穷大量时，应设法将 无穷大量转化为无穷小量。上述运算性质的命题形式均为充分条件，不满足前面条件时， 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 3 网址：www.tsinghuatutor.com 电话 82378805