高等数学教案 第八章空间解析几何与向量代数 数量积的坐标表示：设a=a,i+aj+a,k,b=bxi+bj+bzk.按向量积的运算规律可得 axb=(axi+avj+azk)x (bxi+byj+bzk) ax by ixi+ax by ixj+ax bz ixk tay bxjxi+ay byjxj+ay bzjxk +a:bx kxi+az by kxj+a:b:kxk 由于ixi=jx对i=kxk=0,ix对=k,j×k=i,k×i=j,所以 axb=ay b:-az by)i+a:bx-ax b2)j+ax by-ay by)k. 为了邦助记忆，利用三阶行列式符号，上式可写成 i方k axb=as ay a:=abirabxj+ab,k-ab k-a b-j-abi bs by b =ay b=-az by)i+(a:bx-ax b2)j+(ax by-ay bx)k.. 例4设=(2,1，-1)，b=(1,-1,2),计算a×b. k 解 -2i-j-2k-k-4j-i=i-5j-3k. 1-1 2 例5已知三角形ABC的顶点分别是A(1,2,3)、B(3,4,5)、C(2,4,7),求三角形ABC 的面积， 解根据向量积的定义，可知三角形ABC的面积 Se@Csn2-号x4C 由于AB=(2,2,2),AC=(1,2,4),因此 i j k AB×AC=222=4-6+2k 124 于是 SBc=引4i-6j+2k2V4+-6+22=14 例6设刚体以等角速度o绕/轴旋转，计算刚体上一点M的线速度. 解刚体绕1轴旋转时，我们可以用在1轴上的一个向量表示角速度，它的大小等于角速 度的大小，它的方向由右手规则定出：即以右手握住1轴，当右手的四个手指的转向与刚体的 旋转方向一致时，大姆指的指向就是的方向. 设点M到旋转轴1的距离为a,再在1轴上任取一点O作向量r=OM,并以0表示o与 r的夹角，那么 a=r sine. 设线速度为”，那么由物理学上线速度与角速度间的关系可知，v的大小为 v=aa=a r sine