高等数学教案 第八章空间解析几何与向量代数 所以 Cos∠AMB=ab- 1ab1√2√22 从而 ∠AMB=号 例3设液体流过平面S上面积为A的一个区域，液体在这区域上各点处的流速均为（常 向量)加.设n为垂直于S的单位向量，计算单位时间内经过这区域流向n所指一方的液体的 质量P(液体的密度为P). 解单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为A、斜高为，的斜柱体。这柱体的 斜高与底面的垂线的夹角就是v与n的夹角B,所以这柱体的高为vcos8,体积为 Av cos 0=A v'n. 从而，单位时间内经过这区域流向所指一方的液体的质量为 P=pAv 'n. 二、两向量的向量积 在研究物体转动问题时，不但要考虑这物体所受的力，还要分析这些力所产生的力矩： 设O为一根杠杆L的支点有一个力F作用于这杠杆上P点处.F与OP的夹角为0. 由力学规定，力F对支点O的力矩是一向量M,它的模 MHOPFIsin0, 而M的方向垂直于OP与F所决定的平面，M的指向是的按右手规则从OP以不超过的角 转向F来确定的. 向量积：设向量c是由两个向量a与b按下列方式定出： c的模lc=ablsin0,其中0为a与b间的夹角 c的方向垂直于a与b所决定的平面，c的指向按右手规则从a转向b米确定。 那么，向量c叫做向量a与b的向量积，记作axb,即 c axb. 根据向量积的定义，力矩M等于OP与F的向量积，即 M=OPxF. 向量积的性质： (1)axa=0; (2)对于两个非零向量a、b,如果a×b=0,则al/b;反之，如果al/h,则axb=0. 如果认为零向量与任何向量都平行，则ab一axb=0. 数量积的运算律： (1)交换律a×b=-bxa; (2)分配律：(a+b)xc=a×c+b×c (3)(0a)×b=ax()b)=(axb)(八为数). 3