高等数学教案 第八章空间解析几何与向量代数 (a+b)-c=cPrje(a+b) =c(Pria+Pri b) =cPrja+lcPrjb =ac+b.c. 例1试用向量证明三角形的余弦定理 证设在△ABC中，∠BCA=0,BC=a,CA=b,AB=C, 要证 c2=a2+b2-2 a b cos 0. 记CB=4,CA=b,AB=c,则有 c=a-b, 从而lc=c·c-(a-b)(a-b)=a·a+b.b-2a·b=a'+b-2 a bcost(a,b), 即 c2=a2+b2-2 a b cos 0. 5、数量积的坐标表示： 设a=(a,a,a:,b(b,b,b.)方则 a-b=ab:+a by+ab:. 提示：按数量积的运算规律可得 ab=(axi+avj+azk)(bxi+bvj+b2k) =ax bxii+ax byij+ax bzi-k +abji+ay bvjj+ab2广k +a:bxki+a:bykj+a:bzkk ax bx+ay by a:bz 6、两向量夹角的余弦的坐标表示： 设C=(a,^b),则当a≠0、b≠0时，有 cos0=ab ab:+a b,+ab. lall atajta 提示：ab=a bcose 例2已知三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2),求∠AMB. 解从M到A的向量记为a,从M到B的向量记为b,则∠AMB就是向量a与b的夹角. a={1,1,05,b={1,0,1} 因为 ab=1×1+1×0+0x1=1, |ahV2+1P+02=√2， bfV12+02+12=√互. 2