《数学分析》上册教案 第四章函数连续性 海南大学数学系 2、跃间断点若1mfx,im)存在，但f优+0以f伍-0，则称点x为 函数∫的跳跃间断点. 例如，对y=x,lim[闲=0，lim[x)=-1故x=0是它的跳跃间断点。 再如x=0是sgnx的跳跃间断点。 可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点，其特点的函数在该点处的左、 右极限都存在 3、二类间断点函数的所有其它形式的间断点（即使称函数至少有一侧极 限不存在的点)称为函数的第二类间断点. 例如，x=0是函数：，sn上的第二类间断点。 定理f田)在(a)上单调，若点无为函数∫的间断点，则点飞必是∫的第 一类间断点. 证明无妨设f在(a,b)单调上升，x∈a,),当r→。-0时，函数值 )单调上升，有上界)，所以极限存在，且f国=f代化-0)≤f) 同理0田=f化+0)2f化，) 若f,-0)=f+0),为f)连续点，若f-0)<f+0),为第 一类间断点。 例7讨论函数-1x-的间断点类型 x(x2-D) 例8延拓函数)-如3江，使在点，=0连续， 的举出定义在0】上且仅在点：一子号三点间断的函数的子。 例l0讨论Dirichlet函数D(x)和Riemann函数R(x)的连续性. 作业教材P73-741(1),2(6)(7),3-6:《数学分析》上册教案 第四章 函数连续性 海南大学数学系 6 2、跃间断点 若 0 0 lim ( ), lim ( ) x x x x f x f x → → + − 存在,但 0 0 f x f x ( 0), ( 0) + − ,则称点 0 x 为 函数 f 的跳跃间断点. 例如,对 y x = [ ] , 0 0 lim[ ] 0, lim[ ] 1 x x x x → → + − = = − 故 x = 0 是它的跳跃间断点. 再如 x = 0 是 sgn x 的跳跃间断点. 可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点,其特点的函数在该点处的左、 右极限都存在. 3、二类间断点 函数的所有其它形式的间断点（即使称函数至少有一侧极 限不存在的点）称为函数的第二类间断点. 例如, x = 0 是函数 1 x , 1 sin x 的第二类间断点. 定理 f (x) 在 (a,b) 上单调,若点 0 x 为函数 f 的间断点,则点 0 x 必是 f 的第 一类间断点. 证明 无妨设 f (x) 在 (a,b) 单调上升, ( , )  x0  a b ,当 x → x0 − 0 时,函数值 f (x) 单调上升,有上界 ( ) 0 f x ,所以极限存在,且 lim ( ) ( 0) ( ) 0 0 0 0 f x f x f x x x = −  → − . 同理 lim ( ) ( 0) ( ) 0 0 0 0 f x f x f x x x = +  → + . 若 ( 0) ( 0) f x0 − = f x0 + , 0 x 为 f (x) 连续点,若 ( 0) ( 0) f x0 −  f x0 + , 0 x 为第 一类间断点. 例7 讨论函数 ( 1) ( 1) ( ) 2 − − = x x x x f x 的间断点类型. 例8 延拓函数 , sin 3 ( ) x x f x = 使在点 x0 = 0 连续. 例9 举出定义在[0,1]上且仅在点 4 1 , 3 1 , 2 1 x = 三点间断的函数的例子. 例10 讨论 Dirichlet 函数 D(x) 和 Riemann 函数 R(x) 的连续性. 作业 教材 P73—74 1 (1),2 (6)(7), 3—6；