《数学分析》上册教案 第四章函数连续性 海南大学数学系 1、函数y=C,y=x,y=sinx,y=cosx是R上的连续函数： 2、函数y=√-x2在(-1,1)内每一点都连续.在x=1处为左连续，在x=-1处 为右连续，因而它在[-1，】上连续. 命题初等函数在其定义区间上为连续函数 函数y=[x,y=sgnx在-l,】上是分段连续的y=[闲在R上是分段连续吗？ sgnx在R上是分段连续吗？ 三、间断点及其分类 (一)不连续点（间断点）定义 定义3设函数f在某U(x)内有定义，若∫在点x无定义，或∫在点x有 定义而不2，不则称点x,为函数∫的间断点或不连续点. 注这个定义不好：还不如说：设∫在U(x)内不定义，如果f(x)在x,不连 续，则称x是x)的不连续点（或间断点）.由上述分析可见，若为函数∫的间 断点，则必出现下列情形之一：①fx)在点x无定义：②mf)不存在：③ mfx)≠f,).据此，对函数的间断点作如下分类： (二)间断点分类 1、去间断点若limf(x)=A,而f在点x,无定义，或有定义但f,)≠A,则 称x,为∫的可去间断点。 例如：x=0是函数HsgnxL8()=s血的可去间断点 “可去间断点”名称何来？通过一定的手段，可以“去掉”.设x。是f(x)的可 去间断点，且只=A7树则飞是7元的莲续点 Ax≠x0 例如，对g)=nx,定义g={ x0,则到在x=0连续 (1x=0 5 《数学分析》上册教案 第四章 函数连续性 海南大学数学系 5 1、函数 y C y x y x y x = = = = , , sin , cos 是Ｒ上的连续函数； 2、函数 2 y x = −1 在 ( 1,1) − 内每一点都连续.在 x =1 处为左连续,在 x =−1 处 为右连续,因而它在 [ 1,1] − 上连续. 命题 初等函数在其定义区间上为连续函数. 函数 y x = [ ] , y x = sgn 在 [ 1,1] − 上是分段连续的 y x = [ ] 在Ｒ上是分段连续吗? sgn x 在Ｒ上是分段连续吗? 三、间断点及其分类 (一) 不连续点（间断点）定义 定义 3 设函数 f 在某 0 0 U x( ) 内有定义,若 f 在点 0 x 无定义,或 f 在点 0 x 有 定义而不 2,不则称点 0 x 为函数 f 的间断点或不连续点. 注 这个定义不好；还不如说：设 f 在 0 0 U x( ) 内不定义,如果 f x( ) 在 0 x 不连 续,则称 0 x 是 f x( ) 的不连续点（或间断点）.由上述分析可见,若 0 x 为函数 f 的间 断点,则必出现下列情形之一：① f x( ) 在点 0 x 无定义；② 0 lim ( ) x x f x → 不存在；③ 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x →  .据此,对函数的间断点作如下分类： (二) 间断点分类 1、去间断点 若 0 lim ( ) x x f x A → = ,而 f 在点 0 x 无定义,或有定义但 0 f x A ( )  ,则 称 0 x 为 f 的可去间断点. 例如： x = 0 是函数 sin ( ) | sgn |, ( ) x f x x g x x = = 的可去间断点. “可去间断点”名称何来?通过一定的手段,可以“去掉”.设 0 x 是 f x( ) 的可 去间断点,且 0 lim ( ) x x f x A → = . 0 0 ( ), ( ) , f x x x f x A x x  =    则 0 x 是 f x( ) 的连续点. 例如,对 sin ( ) x g x x = ,定义 sin , 0 ( ) 1, 0 x x g x x x    =    = ,则 g x( ) 在 x = 0 连续