《数学分析》上册教案 第四章函数连续性 海南大学数学系 定义2：设函数f在点U.()(U.(x)内有定义)，若m)=f,) （imfx)=fx),则称f在点，右（左）连续. 2、∫在点x,连续的等价刻划 定理4.1函数∫在点，连续一∫在点x既是右连续，又是左连续. 如上例4：mxD()=1mx=0=f0)(右连续)，ImxD()=lmx=0=f0) (左连续)， {一-之0在点x=0的连续性 例5讨论函数f=+2￥≥0 例6设 [sinx r<0 f(x)= x=0 xsin+b.x>0 其中a、b为常数.问：①。、b为何值时，/存在？②。、b为何值 时，f)在x=0点连续？ 解即)，画f)=6,故0b=1,a为任意常数时，f刊存在： (2)欲使f(x)在x=0点连续，应有a=1=b 二、区间上的连续函数 (一)定义 若函数∫在区间1上每一点都连续，则称∫为I上的连续函数.对于闭区间 或半开半闭区间的端点，函数在这些点上连续是指左连续或右连续，若函数∫在 区间[a,]上仅有有限个第一类间断点，则称∫在[a,b]上分段连续. (二)例子《数学分析》上册教案 第四章 函数连续性 海南大学数学系 4 定义 2：设函数 f 在点 0 U x( ) + （ 0 U x( ) − 内有定义）,若 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → + = （ 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → − = ）,则称 f 在点 0 x 右（左）连续. 2、 f 在点 0 x 连续的等价刻划 定理 4.1 函数 f 在点 0 x 连续  f 在点 0 x 既是右连续,又是左连续. 如上例 4： 0 0 lim ( ) lim 0 (0) x x xD x x f → → + + = = = （右连续）, 0 0 lim ( ) lim 0 (0) x x xD x x f → → − − = = = （左连续）. 例 5 讨论函数 2, 0 ( ) 2, 0 x x f x x x  +  =   −  在点 x = 0 的连续性. 例 6 设 sin , 0 ( ) , 0 1 sin , 0 x x x f x a x x b x x     = =    +   , 其中 a、b 为常数.问：⑴ a 、b 为何值时, lim ( ) 0 f x x→ 存在? ⑵ a 、b 为何值 时, f (x) 在 x = 0 点连续? 解 lim ( ) 1 0 = → − f x x , f x b x = → + lim ( ) 0 ,故⑴ b =1, a 为任意常数时, lim ( ) 0 f x x→ 存在； ⑵ 欲使 f (x) 在 x = 0 点连续,应有 a =1= b 二、区间上的连续函数 (一) 定义 若函数 f 在区间Ｉ上每一点都连续,则称 f 为Ｉ上的连续函数.对于闭区间 或半开半闭区间的端点,函数在这些点上连续是指左连续或右连续.若函数 f 在 区间 [ , ] a b 上仅有有限个第一类间断点,则称 f 在 [ , ] a b 上分段连续. (二) 例子