《数学分析》上册教案 第四章函数连续性 海南大学数学系 %=f),4y=f(x)-fx)=f(x+△)-fx)=y-片一一函数y在点x的增 量 注自变量的增量△x或函数的增量△y可正、可负、也可为零.（区别于“增 加”) 2、价定义1：函数f在点x连续一1m4y=0. 3、价定义2：函数f在点。连续一e>0,6>0,当Ix-xk6 时，lfx)-f(x)k6. 注一个定义是等价的，根据具体的问题选用不同的表述方式如用三种定义， 可以证明以下命题： 例4证明函数fx)=xDx)在点x=0连续，其中D(x)为Dirichlet函数. (四)函数f在点x有极限与函数∫在点x,连续之间的关系 1、对邻域的要求看：在讨论极限时，假定∫在U(x)内不定义（∫在点x可 以没有定义).而∫在点x,连续则要求∫在某U(x,)内有定义（包括x). 2、极限中，要求0x-xk6,而当“∫在点x连续”时，由于x=x 时，lf(x)-f(x)水k恒成立.所以换为：|x-xk6. 3、从对极限的要求看：“∫在点x连续”不仅要求“∫在点x有极限”，而 且mfx)=f6:而在讨论mf)时，不要求它等于f化)，甚至于 f(x)可以不存在. 总的来讲，函数在点x,连续的要求是：①f(x)在点x有定义：②imfx)存 在：回1mf八)=f).任何一条不满足，∫在点6就不连续.同时，由定义可知， 函数在某点是可连续，是函数在这点的局部性质， (五)∫在点，左（右）连续定义 1、定义 3 《数学分析》上册教案 第四章 函数连续性 海南大学数学系 3 0 0 y f x = ( ), 0 0 0 0  = − = +  − = − y f x f x f x x f x y y ( ) ( ) ( ) ( ) ——函数 y 在点 0 x 的增 量. 注 自变量的增量 x 或函数的增量 y 可正、可负、也可为零.（区别于“增 加”）. 2、价定义 1：函数 f 在点 0 x 连续  0 lim 0 x y  →  = . 3、价定义 2 ：函数 f 在 点 0 x 连 续        0, 0 , 当 0 | | x x −   时, 0 | ( ) ( ) | f x f x −   . 注 一个定义是等价的,根据具体的问题选用不同的表述方式.如用三种定义, 可以证明以下命题： 例 4 证明函数 f x xD x ( ) ( ) = 在点 x = 0 连续,其中 D x( ) 为 Dirichlet 函数. (四) 函数 f 在点 0 x 有极限与函数 f 在点 0 x 连续之间的关系 1、对邻域的要求看：在讨论极限时,假定 f 在 0 0 U x( ) 内不定义（ f 在点 0 x 可 以没有定义）.而 f 在点 0 x 连续则要求 f 在某 0 U x( ) 内有定义（包括 0 x ）. 2、极限中,要求 0 0 | |  −  x x  ,而当“ f 在点 0 x 连续”时,由 于 x= 0 x 时, 0 | ( ) ( ) | f x f x −   恒成立.所以换为： 0 | | x x −   . 3、从对极限的要求看：“ f 在点 0 x 连续”不仅要求“ f 在点 0 x 有极限”,而 且 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → = ；而在讨论 0 lim ( ) x x f x → 时,不要求它等于 0 f x( ) ,甚至于 0 f x( ) 可以不存在. 总的来讲,函数在点 0 x 连续的要求是：① f x( ) 在点 0 x 有定义；② 0 lim ( ) x x f x → 存 在；③ 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → = . 任何一条不满足, f 在点 0 x 就不连续.同时,由定义可知, 函数在某点是可连续,是函数在这点的局部性质. (五) f 在点 0 x 左（右）连续定义 1、定义