例112.7函数f(x,y)=sin√x2+y2在R2上连续 证设(x02y)为R2上的任一点,则有 f(x,y)-f(x, yo)1= sin x2+y2-sin x2+yo x+ xo t yo x 2 yo 2 2 x。 ≤2sin x+12 ≤ Xo )2+(y-y (利用三角不等式) 于是,对于任意给定的>0,取δ=,当x-x1)2+(y-y)2<δ时就 成立 If(x, y)-f(o, yo)<8 这说明f(x,y)在(x0,y)点连续。由于(x,y3)为R2上的任一点,所以 f(x,y)在R2上连续。于是，对于任意给定的ε > 0，取δ = ε ，当 <−+− δ 2 0 2 0 yyxx )()( 时就 成立 − ),(),( < ε 00 yxfyxf 。 这说明 yxf ),( 在 ),( 00 yx 点连续。由于 ),( 00 yx 为 2 R 上的任一点，所以 yxf ),( 在 2 R 上连续。 例 11.2.7 函数 22 sin),( += yxyxf 在 2 R 上连续。 证 设 ),( 00 yx 为 2 R 上的任一点，则有 |),(),(| 00 − yxfyxf = sin| sin | 2 0 20 22 +−+ yxyx = 2 sin 2 cos2 2 0 2 0 2 22 0 2 0 22 +−+ yxyxyxyx ⋅ +++ ≤ 2 sin2 2 0 2 0 22 +−+ yxyx 2 0 2 0 22 +−+≤ yxyx ≤ 2 0 2 0 −+− yyxx )()( （利用三角不等式）