因此对上式取Ax→0的极限,便得 1-(Y-y)f"(x)+f"2(x)=0 f"(x) 把它代入(2.11)式,又得 f"(x) 可见法线(2.11)与(2.12)的交点(X,Y)的极限位置(仍记为(X,Y))即为由(27)式 指出的曲率中心 说明本题虽与定积分没有直接联系,但它对于认识曲率中心的几何特征是很有帮助 例5试求星形线x=acos3t,y=asn3(ax0)绕直线y=x旋转所成旋转曲面的面 积 分析如图10-22所示,曲线上任一点(x,y)至旋转轴y=x的距离为 h 这就是曲面上任一点的旋转半径 解根据以上分析,并利用对称性,可得 4 Ly(t-x(ol x2(0)+y2()dt +/4[(sin't-cos'1V9a2 idt 12mx2 22/J2( tsn costdt+ (sint-cos'(sin t cost )a In t+cos t) (sint+cos't) 12m21(,√2因此对上式取 x → 0 的极限，便得 1 ( ) ( ) ( ) 0, 2 − Y − y f  x + f  x = 即 . ( ) 1 ( ) ( ) 2 f x f x Y f x  +  = + 把它代入（2.11）式，又得 . ( ) ( )[1 ( )] 2 f x f x f x X x   +  = − 可见法线（2.11）与（2.12）的交点（X,Y）的极限位置（仍记为（X,Y））即为由（2.7）式 指出的曲率中心。 说明 本题虽与定积分没有直接联系，但它对于认识曲率中心的几何特征是很有帮助 的。 例 5 试求星形线 cos , sin ( 0) 3 3 x = a t y = a t a  绕直线 y = x 旋转所成旋转曲面的面 积。 分析 如图 10-22 所示，曲线上任一点（ x, y ）至旋转轴 y = x 的距离为 , 2 | y x | h − = 这就是曲面上任一点的旋转半径。 解 根据以上分析，并利用对称性，可得 x t y t dt y t x t S ( ) ( ) 2 | ( ) ( )| 4 4 2 2 3 4  +  − =     t t a t tdt a 4 2 2 2 3 4 3 3 (sin cos ) 9 sin cos 2 4  = −       = − +  2 4 3 3 2 (sin cos )sin cos 2 12    t t t tdt a t t t t dt  − − 4 3 4 3 3 (sin cos )( sin cos )             = + − + 4 3 2 2 5 5 4 5 5 2 (sin cos ) 5 1 (sin cos ) 5 1 2 12      t t t t a (4 2 1) . 5 3 5 1 4 2 1 5 1 2 12 2 2 a a   = −         +         = −