是Px)中两个多项式，m,n>0于是它们的结式R(∫，g)=0的充分必要条件是f(x)与g(x)在 P八x]中有非常数的公因式或者它们的第一个系数a。,b全为零 证明如a,b,全为零，或f(x),g(x)有一个为零，则R(f,g)=0.如f(x)与g(x)与全不为零且 有非常数公因式，由引理有(x,x,((x》<m,(x》<n,使(x)fx)=(x)g(x).于是(6有非 零解.也得Rfg)=0 反之，设f,g)=0.若f(x),g(x)中有一为零多项式定理显然成立在f(x),g(x)都不为零.且 a,不全为零时由Rf,g)=0,则(6)有非零解，知有 (x)=x-+4x-2+.+4n-,(x)=ox-+x-2+.+yn,(x),(x)不全为零使 u(x)f(x)=v(x)g(x). 因f(x),g(x)全不为零，必有x),(x)全不为零.所以(u(x》<m,((x》<n.由引理，f(x),g(x) 有非常数公因式.此外就是4，=0，b=0的情况.定理得证. 当P是复数域时，两个多项式有非常数公因式与有公共根是一致的因此对复数域上多项式 f(x),g(x),Rf,g)=0的充分必要条件为f(x),g(x)在复数域中有公共根或它们的第一个系数全 为零 结式还提供了解二元高次方程组的一个一般的方法设∫(x,y),gx,)是两个复系数的二元多项 式，我们来求方程组 ∫f(x,y)=0 g(x,y)=0 在复数域中的全部解.∫(x,y)与g(x,y)可以写成 f(x.y)=a(y)x"+a(y)x"+.+a(y).g(x.y)=b(y)x"+b(y)x"+.+b(y) 其中a,(y),b,(y),i=0,1,.,n,j=0,l,.,m是y的多项式把f(x,y)与g(x,y)看作是x的多项式. 是 P x[ ] 中两个多项式, m n, 0  于是它们的结式 R f g ( , ) 0 = 的充分必要条件是 f x( ) 与 g x( ) 在 P x[ ] 中有非常数的公因式或者它们的第一个系数 0 0 a b, 全为零. 证明 如 0 0 a b, 全为零,或 f x( ) , g x( ) 有一个为零,则 R f g ( , ) 0 = .如 f x( ) 与 g x( ) 与全不为零且 有非常数公因式,由引理有 u x v x u x m v x n ( ), ( ), ( ( )) , ( ( ))     ,使 u x f x v x g x ( ) ( ) ( ) ( ) = .于是(6)有非 零解.也得 R f g ( , ) 0 = . 反之,设 R f g ( , ) 0 = .若 f x( ) , g x( ) 中有一为零多项式,定理显然成立.在 f x( ) , g x( ) 都不为零.且 0 0 a b, 不全为零时.由 R f g ( , ) 0 = ,则(6)有非零解,知有 1 2 0 1 1 ( ) , m m m u x u x u x u − − = + +  + − 1 2 0 1 1 ( ) , n n n v x v x v x v − − = + +  + − u x v x ( ), ( ) 不全为零使 u x f x v x g x ( ) ( ) ( ) ( ), = 因 f x( ) , g x( ) 全不为零,必有 u x v x ( ), ( ) 全不为零.所以     ( ( )) , ( ( )) . u x m v x n .由引理, f x( ) , g x( ) 有非常数公因式.此外就是 0 0 a b = = 0, 0 的情况.定理得证. 当 P 是复数域时,两个多项式有非常数公因式与有公共根是一致的.因此对复数域上多项式 f x( ) , g x( ), R f g ( , ) 0 = 的充分必要条件为 f x( ) , g x( ) 在复数域中有公共根或它们的第一个系数全 为零. 结式还提供了解二元高次方程组的一个一般的方法.设 f x y ( , ), g x y ( , ) 是两个复系数的二元多项 式,我们来求方程组 ( , ) 0 ( , ) 0 f x y g x y  =   = 在复数域中的全部解. f x y ( , ) 与 g x y ( , ) 可以写成 1 0 1 ( , ) ( ) ( ) ( ), n n n f x y a y x a y x a y − = + +  + 1 0 1 ( , ) ( ) ( ) ( ) m m m g x y b y x b y x b y − = + +  + 其中 ( ), ( ), 0,1, , , 0,1, , i i a y b y i n j m = = 是 y 的多项式.把 f x y ( , ) 与 g x y ( , ) 看作是 x 的多项式. 令