u(x)/(x)=v(x)g(x). () 因为d(x)(x),所以d(x)的次数小于n,故f(x)的次数大于零又((x),(x)=1,于是由(4)，即得 f(x)g(x)这就是说f(x)与g(x)有一非常数的公因式f(x). 下面再来把引理中的条件改变一下，令 x)=ox1+4x2+.+w-,x)=o-+yx-2+.+y 由多项式相等的定义，等式 u(x)f(x)=v(x)g(x) 就是左右两端对应系数相等，即 ato =bovo, a4+a4 =b%+b4, auo +au +au =bvo +by +bv (6) a-m-=baV 如果把(6)看成一个关于未知量，4，.，41，o,片，.，的方程组，那么它是一个含m+n个未知量 m+n个方程的齐次线性方程组显然，引理中的条件：“在Px)]中存在非零的次数小于m的多项式 (x)与次数小于n的多项式v(x)使(5)式成立”就相当于说齐次线性方程组(6)有非零解 我们知道，齐次线性方程组(6)有非零解的充分必要条件为它的系数矩阵的行列式等于零（§4定理 5的推论) 把线性方程组（⑥）的系数矩阵的行列互换，再把后边的n行反号，取行列式就得 aaa.a 666.b m行 a641.an n行 b。h.bn aa.a bb.bn 对任意多项式 f(x)=ax"+ax-+.+an,g(x)=bx"+x-+.+bn (它们可以为零多项式)，我们称上面的行列式为它们的结式记为f,g).综合以上分析，就可证明 定理9设 f(x)=ox"+ax++ag(x)=box"+bx++1 1 u x f x v x g x ( ) ( ) ( ) ( ), = (4) 因为 d x v x ( ) ( ),所以 d x( ) 的次数小于 n ,故 1 f x( ) 的次数大于零.又 1 1 ( ( ), ( )) 1 f x v x = ,于是由(4),即得 1 f x g x ( ) ( ) .这就是说 f x( ) 与 g x( ) 有一非常数的公因式 1 f x( ). 下面再来把引理中的条件改变一下.令 1 2 0 1 1 ( ) , m m m u x u x u x u − − = + +  + − 1 2 0 1 1 ( ) . n n n v x v x v x v − − = + +  + − 由多项式相等的定义,等式 u x f x v x g x ( ) ( ) ( ) ( ) = (5) 就是左右两端对应系数相等,即 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 2 0 1 1 0 2 2 0 1 1 0 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 , , , , n m n m m n m n n m m n a u b v a u a u b v b v a u a u a u b v b v b v a u a u b v b v a u b v − − − − − − − − −  =  + = +   + + = + +    + = +   = (6) 如果把(6)看成一个关于未知量 0 1 1 0 1 1 , , , , , , , m n u u u v v v − − 的方程组,那么它是一个含 m n + 个未知量, m n + 个方程的齐次线性方程组.显然,引理中的条件:“在 P x[ ] 中存在非零的次数小于 m 的多项式 u x( ) 与次数小于 n 的多项式 v x( ) 使(5)式成立”就相当于说,齐次线性方程组(6)有非零解. 我们知道,齐次线性方程组(6)有非零解的充分必要条件为它的系数矩阵的行列式等于零(§4 定理 5 的推论). 把线性方程组(6)的系数矩阵的行列互换,再把后边的 n 行反号,取行列式就得 m 行 0 1 2 0 1 0 1 n n n a a a a a a a a a a        n 行 0 1 2 0 1 0 1 m m m b b b b b b b b b b        对任意多项式 1 0 1 ( ) , n n n f x a x a x a − = + +  + 1 0 1 ( ) m m m g x b x b x b − = + +  + (它们可以为零多项式),我们称上面的行列式为它们的结式,记为 R f g ( , ).综合以上分析,就可证明. 定理 9 设 1 0 1 ( ) , n n n f x a x a x a − = + +  + 1 0 1 ( ) m m m g x b x b x b − = + +  +