教学方法：讲授法 教学过程 现在我们利用已经建立起来的线性方程组的理论给出一个解二元高次方程组的一般方法为了 这个目的，我们先讨论一下两个一元多项式有非常数的公因式的条件 根据第一章的结果，可以证明 引理设 f(x)=aox+ax"+.+a ) g(x)=bx+bx-1+.+b (2) 是数域P上的两个非零的多项式，它们的系数a,b不全为零.于是f(x)与g(x)在P[x)中有非常数的 公因式的充分必要条件是，在Px]中存在非零的次数小于m的多项式(x)与次数小于n的多项式 (x),使 u(x)f(x)=v(x)g(x). 证明先证必要性 如果f(x)与g(x)有非常数的公因式d(x),即 f(x)=d(x)f(x).g(x)=d(x)g(x). 其中f(x)<n,a(g(x》<m,那么取(x)=g(x),x)=(x),显然就有 u(x)/(x)=d(x)(x)g(x)=v(x)g(x). 再证充分性为了确定起见，不妨设4，≠0，也就是说，f(x)是-n次多项式假定有(x),(x)使 u(x)f(x)=v(x)g(x). (3) 其中(u(x)<m,x)<n令(fx,x)》=d(x,于是 f(x)=d(x)f(x).v(x)=d(x)v(x). 代入(3)式得 d(x)u(x)f(x)=d(x)v(x)g(x). 消去d(x),有 教学方法: 讲授法. 教学过程: 现在我们利用已经建立起来的线性方程组的理论给出一个解二元高次方程组的一般方法.为了 这个目的,我们先讨论一下两个一元多项式有非常数的公因式的条件. 根据第一章的结果,可以证明 引理 设 1 0 1 ( ) , n n n f x a x a x a − = + +  + (1) 1 0 1 ( ) m m m g x b x b x b − = + +  + (2) 是数域 P 上的两个非零的多项式,它们的系数 0 0 a b, 不全为零.于是 f x( ) 与 g x( ) 在 P x[ ] 中有非常数的 公因式的充分必要条件是,在 P x[ ] 中存在非零的次数小于 m 的多项式 u x( ) 与次数小于 n 的多项式 v x( ) ,使 u x f x v x g x ( ) ( ) ( ) ( ), = 证明 先证必要性 如果 f x( ) 与 g x( ) 有非常数的公因式 d x( ) ,即 1 1 f x d x f x g x d x g x ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), = = 其中 1 1     ( ( )) , ( ( )) , f x n g x m 那么取 1 1 u x g x v x f x ( ) ( ), ( ) ( ), = = 显然就有 1 1 u x f x d x f x g x v x g x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). = = 再证充分性.为了确定起见,不妨设 0 a  0,也就是说, f x( ) 是 −n 次多项式.假定有 u x v x ( ), ( ) 使 u x f x v x g x ( ) ( ) ( ) ( ), = (3) 其中     ( ( )) , ( ( )) . u x m v x n 令 ( ( ), ( )) ( ), f x v x d x = 于是 1 1 f x d x f x v x d x v x ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ). = = 代入(3)式,得 1 1 d x u x f x d x v x g x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), = 消去 d x( ) ,有