教案:平面运动方程及其应用 一维 Euclid空间上微分学综合应用之 秒=/(x()m(0)≠0=x(0=c(2(),(2( (1)“()≠0=yeC"(B(0,(B(O) 此处需说明,局部微分同胚的存在性,由此可有曲线的局部 Monge表示°,籍此可定义斜率 角 按 Landau的局部分析(基于无限小增量公式的分析¨),推导得:曲率半径计算式 + y p(t)= ().进一步,引进曲率:(以):1 ()(x2+i().可见,曲率 在速度不为零的点都有定义,而曲率半径则不一定 ④平面运动方程推导 按现有程度,在典则基下,我们有如下速度及加速度定义 70=[ o=(a()[il3 由典则基的定义 ,()年 可得 代入速度及加速度在典则基的表示,通过矩阵运算,即得 [d小()=[7 ()=[,示 +yx·x+yy ￥2+21-yxLy 22+i20 ji-ii 进一步分析得: 局部微分同胚指当函数的定义域展制于某个开区间,则其对应的值域也为开区间;函数实现两者间的一一对应,且反函数 具有同原函数一致的正则性(直至某阶导数连续可微) , Monge表示指以某个坐标作为参数 无限小增量公式,即为带 Peano余项的 Taylor展开 艹可按矩阵求逆或线性方程组求解,可结合解析几何或线性代数相关内容 第3页共6页教案：平面运动方程及其应用 —— 一维 Euclid 空间上微分学综合应用之一 第 3 页 共 6 页                           0 , 0 , p p dy x t as x t x t C B t x B t dx tg t dx y t as y t y t C B t y B t dy                   此处需说明，局部微分同胚 的存在性，由此可有曲线的局部 Monge 表示§ ，籍此可定义斜率 角。 按 Landau 的局部分析（基于无限小增量公式的分析**），推导得：曲率半径计算式       3 2 2 2 x y t t yx xy           。进一步，引进曲率：         3 2 2 2 1 yx xy t t t x y             。可见，曲率 在速度不为零的点都有定义，而曲率半径则不一定。 ④ 平面运动方程推导 按现有程度，在典则基下，我们有如下速度及加速度定义：   , , ,,    x xx rt i j t va t i j t y yy                                    由典则基的定义：      2 2 1 , , x y nt ij t x y y x                              可得†† ：       2 2 1 , , x y ij t n t x y y x                               代入速度及加速度在典则基的表示，通过矩阵运算，即得：            2 2 22 22 , , 1 1 , , 0 x x va t i j t y y x y xx x y xx yy n tn t xy xy yx yy yx xy                                                                           进一步分析得： ‡ 局部微分同胚指当函数的定义域限制于某个开区间，则其对应的值域也为开区间；函数实现两者间的一一对应，且反函数 具有同原函数一致的正则性（直至某阶导数连续可微）。 § Monge 表示指以某个坐标作为参数。 ** 无限小增量公式，即为带 Peano 余项的 Taylor 展开。 †† 可按矩阵求逆或线性方程组求解，可结合解析几何或线性代数相关内容