<<代数与几何>期中自我检查题及答案 班级 学号 时间:25小时 1判断下列命题是否成立?(每题3分) (1)若a12…an线性无关,B1…B线性无关。则a2…;an,B2…B线性无关(否) (2)若a12…an线性无关,a不能用a1…an线性表示,,则a1,…,an2Cn1线性无关。(是) (3)(a,B)y=(B,y)a (否) (4)若∝1…,a2n+1线性无关,则a1+a2,a2+a3,…,a2n+a2n+1,a2n+a1也线性无关。 (是)。a1+a2,a2+a3,…a2n1+a2n,a2n+ar1是线性相关的 a1-a2,a2-ax3,…a2n-a2n+1,a2n+-a1是线性相关的 (5)若ax12a2,a3线性相关,则a1+a2a2+a3,a1+a3也线性相关。 (是) 2.(5分)写出命题 “对任意不全为0的数x,x2,…,xn,均有x1a1+α2x2+.+anXn≠0。”的逆否命题和否命题。 逆否命题:若有x1a1+a2x2+.+anx1=0。则数x1=x2=.=xn=0。 否命题:存在不全为0的数x1,x2,,xn,使得x1a1+ax2x2+.+anx1=0 3.(10分)问￠*=Q\{0}对数的乘法是否为交换群?若是,找一个子群H(≠Q*) 答:是交换群。因为:1∈Q*,Ⅵa,b∈,ab∈Q*(封闭性):数的乘法有交换律,结合律 单位元为1,Va∈Q*的逆元是1/a H=Q(正有理数集)对数的乘法是Q*的子群 4.(10分)求过点(1,2,-3)且与z轴和向量a=(2,-3,1)都平行的平面方程 答:平面的法向量n=k×a=(0,0,1)×(2,-3,1)=(3,2,0), 所求平面方程:3(x-1)+2(y-2)=0.即:3x+2y-7=0 5.(10分)b234:L2:x-1_y+2-2,L1与L2是否相交?若是 xy+3二 2 求交点 答:P1(0,-3,0),P2(1,-2,2),s1=(2,3,4),s2=(1,1,2) PP2(s×s)=234=0,所以L1与L2共面,又s与s不平行,知L1与L2相交。 11 P 234 =t,即y=-3+3,令 即 P 2+p=-3+3,解得t=0,p=-1交点为(0,-30) 2+2P<<代数与几何>>期中自我检查题及答案 班级 学号 时间: 2.5 小时 1.判断下列命题是否成立？ (每题 3 分) (1)若   m , , 1  线性无关,  r , , 1  线性无关。则   m , , 1  ,  r , , 1  线性无关. ( 否 ) (2)若   m , , 1  线性无关,  m+1 不能用   m , , 1  线性表示，,则 1 1 , , ,    m  m+ 线性无关。( 是 ) (3) (,  ) = (, ) . ( 否 ) (4)若 1 2 1 , ,    n+ 线性无关, 则 1 2 2 3 2 2 1 2 1 1  + , + ,  , n + n+ , n+ + 也线性无关。 ( 是 )。 1 2 2 3 2 1 2 2 1  + , + ,  , n− + n , n + 是线性相关的。 1 2 2 3 2 2 1 2 1 1  − , − ,  , n − n+ , n+ − 是线性相关的。 (5) 若 1 2 3  , , 线性相关, 则 1 2 2 3 1 3  + , + , + 也线性相关。 ( 是 ) 2. (5 分) 写出命题 “对任意不全为 0 的数 x1, x2,, xn,均有 x11+2x2++nxn0。”的逆否命题和否命题。 逆否命题：若有 x11+2x2++nxn=0。则数 x1= x2==xn=0。 否命题：存在不全为 0 的数 x1, x2,, xn,使得 x11+2x2++nxn=0。 3． (10 分) 问 Q*＝Q\{0}对数的乘法是否为交换群？若是，找一个子群 H（Q*）. 答：是交换群。因为：1 Q*,a，b Q*, ab Q*(封闭性)；数的乘法有交换律，结合律； 单位元为 1 ，a Q*的逆元是 1/a。 H=Q +（正有理数集）对数的乘法是 Q*的子群. 4．(10 分) 求过点（1，2，-3）且与 z 轴和向量 a=(2, -3, 1) 都平行的平面方程. 答：平面的法向量 n=ka=(0, 0, 1) (2, −3, 1) =(3, 2, 0), 所求平面方程: 3(x−1)+2(y−2)=0. 即：3x+2y−7=0 5．(10 分) L1: 3 4 3 2 x y z = + = ； L2 : 2 2 1 2 1 1 − = + = x − y z ，L1 与 L2 是否相交？若是 求交点。 答：P1(0, -3,0), P2(1, -2, 2), s1=(2, 3,4), s2=(1, 1,2), P1P2(s1 s2)= 0 1 1 2 2 3 4 1 1 2 = ,所以 L1 与 L2 共面，又 s1 与 s2 不平行，知 L1 与 L2 相交。 , 0, 1 (0, 3,0). 4 3 3 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 , 4 3 3 2 3 4 3 2 = = − − = = − + = + − + +           = + = − + = + = − = + = −      = = − + = = = + = 解得 交点为 令 ，即 令 ，即 t p t t t p p p z p y p x p p x y z z t y t x t t x y z