6(10分)设 3x1-6x,+ g+ 3x1-6 问p,q取那些值时,方程组有唯一解和有无穷多解?有无穷多解时求全部解 -201 3-6Pqq+700pq-3q+100P 2|-6 q=1无解:q≠1,且p0时有唯一解:p=0,且q=5时有无穷多解q=5p=0代入得 2 MI 1+2k x2-x2=0 所以x=2 x3 k 令x3=k,得x2=k,x1=-1+2k, 7.(12分)设 (x…,x:)∈F 2x,+3x2-4x=0 :0 W2={(x1…,x1)∈F x3-x4= (1)求W1+W2的基和维数,及W1+W2单位正交基。 (2)求W∩W2的基和维数; (3)求W∩W2的正交补 解:(1)W1=L(α1,ax2),其中a1=(-1,1,1,0),a2=(2,-1,0,1)(方程组的任意2个线性无关解 W2=L(β1,B2)其中β=18,10,7),β2=-9,0,1-3)(方程组的任意2个线性无关解均 W+W2=L(a1,a2,B,B2)L(ax1,a2,β1),基:(α,a2,B1Xa,2,B1,B2的任意一个极大线性 无关组均可),维数=3 (2)Wn∩W2=L(),其中γ是下列方程组的解: 000 x2-x3+x4=0 01-11101-11010-1 x1+3x,-3x4=0, 07-3-1100000000 Y=(0,1,2,1)(与其成比例的任一向量均可)是W∩W2的基,维数=1 (3)上面方程组的4个行向量 n=(1,-2,3,-4),n2=(0,1-1,1);np=(1,3,0.-3);n4=(0,7,-3-1)与解空间正交 W∩W2的正交补:(W1nW2)=(n,np2,n3,n4)=L(n,n2,n3)(n,n2,ns,n4的任意 一个极大线性无关组均可).维数=3 验证:dim(W1+W2)+dim(W∩W2)=dim(W1)dim(W2)4=dmR46.(10 分) 设        − + + = − + + = + − − + = − + = 3 6 0 3 6 7 2 2 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 4 x x px x x x px qx q x x x x x x x 问 p, q 取那些值时，方程组有唯一解和有无穷多解？有无穷多解时求全部解。 解： A= , 0 0 0 1 7 0 0 3 1 0 1 1 0 0 1 2 0 1 2 0 0 2 6 0 0 3 1 0 1 1 0 0 1 2 0 1 2 3 6 1 0 3 6 7 1 1 1 1 2 1 2 0 1 2             − + − − − + − −              − − − + − −              − − + − − − q q p q q p p q q p p q q q=1 无解；q1,且 p0 时有唯一解；p=0,且 q=5 时有无穷多解. q=5,p=0 代入得： . 3 0 0 1 0 1 1 2 3 1 2 , , 1 2 , 3, 0 2 2 4 3 2 1 3 2 1 4 2 3 1 2 4            − +             =            − + =             =        = = = − + = − = − + = k k k k x x x x X x k x k x k x x x x x x 所以 令 得 7．(12 分) 设    , 7 3 0 3 3 0, ( , , ) | , 0 2 3 4 0, ( , , ) | 2 3 4 4 1 2 4 2 1 4 2 3 4 4 1 2 3 4 1 1 4    − − = + − = =     − + = − + − = =  x x x x x x W x x F x x x x x x x W x x F   (1) 求 W1+W2 的基和维数，及 W1+W2 单位正交基。 (2) 求 W1W2 的基和维数; (3) 求 W1W2 的正交补. 解：(1)W1=L(1, 2), 其中1=(-1,1,1,0) T , 2=(2,-1,0,1) T (方程组的任意 2 个线性无关解). W2=L(1, 2), 其中1=(18,1,0,7) T , 2=(-9,0,1,-3) T ;(方程组的任意 2 个线性无关解均 可). W1+W2=L(1, 2, 1, 2 )=L(1, 2, 1), 基: (1, 2, 1)( 1,2, 1, 2 的任意一个极大线性 无关组均可); 维数=3. (2) W1W2=L(),其中是下列方程组的解: . 0 0 0 0 0 0 1 2 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 1 1 1 1 2 3 4 0 7 3 1 1 3 0 3 0 1 1 1 1 2 3 4 7 3 0 3 3 0, 0, 2 3 4 0, 2 3 4 1 2 4 2 3 4 1 2 3 4             − −              − − − −              − − − − − −        − − = + − = − + = − + − = x x x x x x x x x x x x x =(0,1,2,1)T （与其成比例的任一向量均可）是 W1W2 的基，维数=1; (3)上面方程组的 4 个行向量: 1=(1,-2,3,-4) T ; 2=(0,1,-1,1) T ; 3=(1,3,0,-3) T ; 4=(0,7,-3,-1)T与解空间正交。 W1W2 的正交补: (W1W2) ⊥=L(1 , 2 , 3 , 4)=L(1 , 2 , 3 )（1 , 2 , 3 , 4 的任意 一个极大线性无关组均可）. 维数=3. 验证：dim(W1+W2)+dim(W1W2)=dim(W1)+dim(W2)=4=dimR4