8.(10分)设IR为R上的恒等映射,映射f,g:R→R,若有g=IR,是否有fg=lR,若没有, 试增加一个条件,使f,g均为双射 解:若有gf=l,由p54的20题知f是单射,g是满射,不一定有fg=lR 如:fn)=2n,当n为正整数时,f(x)=x,当x不是正整数时; g(n)=n2,当n为正偶数时,g(x)=x,当x不是正偶数时; gf(n)=g(2n)=n,当n为正整数时;gf(x)=g(x)=x,当x不是正整数时;所以gf=lR 当n为正整数时,g(2n)=f(n)=2n,fg(2n+1)=(2n+1)=2(2n+1),所以fglR (不会举例不扣分) 增加一个条件f是满射(或g是单射);则f(或g)为双射,可逆,g=lRfl=f (或f=IRg=g)也为双射。 9.(10分)已知:a,B,n线性无关:a,B,δ线性相关,问δ可否由aBy,n线性表示??证 明你的论断 解:由a,β,y,n线性无关,所以a,β线性无关,又a,β,8线性相关,所以δ可由α,β线 性表示,于是,δ可由α,B,y,n线性表示,只需取y,n的系数为0 10.(8分)如何定义复空间(C)上的内积概念,它有什么性质? 答:定义(4分)在复空间v(C)上定义一个二元运算,使Ⅴ中元素α,β与一个复数相 对应,记作(α,B),如果va,β∈V,λ∈C,满足: (1)(ax,B)=(B,a);(a,B)与(β,a)互为共轭复数) (2)(α+B,y)=(a,y)+(β,y); (3)(λa,B)=(a,B),((2),(3)为线性性) (4)(a,a)≥0,等号成立当且仅当a=0.(正定性) 则称实数(a,B)为向量∝,B的内积,定义了内积的V(C)称为复内积空间,有限维复内积空间 叫做酉空间( Unitary space) 性质(答对2个4分):1.零向量与任何向量的内积等于零:(0,B)=(0x,B)=0(a,B)=0, 2.(a,λB)=1(a,B),因为:(a,B)=(AB,a)=A(B,a)=(a,B) 3.a的长度定义为 (a,a) 4.a=(a,a,…,an),β=(bu,b2,…,bn)∈C", (a, B)=al bi+ az 是C的一个内积,并称之为C的标准内积。此时向量a的长度 =ya1a1+a2a2+…+anan 5.设VC是一个复内积空间,则va,B∈V,和λ∈R,有 (1)|al=|4l B)≤|‖ a+叫skal+|l 其中(2)称为柯西-施瓦茨( Cauchy- Schwarz)不等式,(3)称为三角不等式8. (10 分). 设 IR为 R 上的恒等映射，映射 f ，g : R→R，若有 gf=IR，是否有 fg=IR，若没有， 试增加一个条件，使 f，g 均为双射。 解：若有 gf=IR,由 p54 的 20 题知 f 是单射，g 是满射; 不一定有 fg=IR 如：f(n)=2n, 当 n 为正整数时，f(x)=x, 当 x 不是正整数时; g(n)=n/2 , 当 n 为正偶数时，g(x)=x, 当 x 不是正偶数时; gf(n)=g(2n)=n, 当 n 为正整数时; gf(x)=g(x)=x, 当 x 不是正整数时; 所以 gf=IR 当 n 为正整数时, fg(2n)=f(n)=2n, fg(2n+1)=f(2 n +1)=2(2n+1), 所以 fgIR （不会举例不扣分） 增加一个条件:f 是满射（或 g 是单射）；则 f（或 g）为双射,可逆，g= IR f -1= f-1 （或 f= IR g -1= g-1）也为双射。 9． (10 分).已知： , , , 线性无关；，， 线性相关，问  可否由 , , , 线性表示？ ？证 明你的论断。 解：由 , ,  , 线性无关，所以 ,  线性无关，又, ,  线性相关，所以  可由 ,  线 性表示，于是， 可由 , , ,  线性表示，只需取, 的系数为 0 。 10.(8 分) 如何定义复空间 V(C) 上的内积概念, 它有什么性质? 答：定义(4 分) 在复空间 V(C)上定义一个二元运算，使 V 中元素 , 与一个复数相 对应，记作(, )，如果 , V,  C, 满足： (1) (, ) = ( ,) ; ((, )与(, )互为共轭复数) (2) (+, ) = (, ) + (, ); (3) (, ) = ( , ); （（2），（3）为线性性） (4) (,)  0, 等号成立当且仅当  = 0. （正定性） 则称实数(, )为向量, 的内积，定义了内积的 V(C)称为复内积空间，有限维复内积空间 叫做酉空间（Unitary space)。 性质（答对 2 个 4 分）：1. 零向量与任何向量的内积等于零： (0, ) = (0, ) = 0(, ) = 0; 2．(,) = (,  ) , 因为：(, ) = (,) = (,) = (,  ) ； 3． 的长度定义为  = (,) 4．  = (a1, a2,, an),  = ( b1, b2,, bn)  C n , (, ) = a1b1+ a2 b2 + anbn 是 C n 的一个内积, 并称之为 C n 的标准内积。此时向量  的长度  = a1a1 + a2 a2 ++ an an 5. 设 V(C)是一个复内积空间，则   , V , 和 R ，有            +  +  = (3) (2) ( , ) (1) ; 其中(2)称为柯西−施瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式，(3)称为三角不等式