长度为1的向量称为单位向量对于任意非零向量a,向是单位向量从a得到单位向量向的过程,称 为将a单位化 例4在欧氏空间Rn中,向量X=(x1,x2,…,xn)的长度是 (,X)=V+呜+…+ 定理911( Cauchy- Schwarz不等式)设V是欧氏空间,对于任意的a,B∈V,总有 (a,B)2≤(a,a)(B,B) 当且仅当a,B线性相关时,等号成立 证明若α=0,则左右两式均等零,等号成立 若a≠0,考虑向量B-a2}a.因为 0≤( ga,Ba,a))=(63,B)-2ge (a,B) 所以 (a,B)2≤(a,a)(B,B) 显然,当且仅当a=0或B-a=0时等式成立.即当且仅当a,线性相关时,等号成立.口 例5对于任意的实数x;,v,1≤i≤n,总有 (x1+x2y2+…+xn)2≤(x2+n2+…+x2)2+2+…+y2) 例6对于f(x),g(x)∈C{a,b,总有 f(x)g(x)dx)2≤ 因为|a,≤ll,所以-1≤故下面对于两个向量的夹角的定义式合理的 定义8.1.3在欧氏空间V中,定义非零向量a,B的夹角由以下式子决定 JalIBI 这样,欧氏空间的任意两个非零向量都有夹角6,0≤6≤丌 定义8.1.4在欧氏空间V中,两个向量a,B称为正交,如果 (a,B) 只有零向量和自己正交.在R中,E1,1≤i≤n,两两正交 命题8.1.2在欧氏空间V中,如果α与每个aa正交,1≤i≤n,则a与a1,a2,……,am的任意 线性组合都正交r 1 {H r &BD9. ℄K{H α, α |α| ht{HÆ α t{H α |α| #￾ r4 α&B,. 8 4 Vi0 R n ￾{H X = (x1, x2, · · · , xn) T h p (X, X) = q x 2 1 + x 2 2 + · · · + x 2 n . )6 9.1.1 (Cauchy-Schwarz $(>) V hVi0￾℄ α, β ∈ V , ! (α, β) 2 ≤ (α, α)(β, β). X; α, β y|z!d￾% E G: _ α = 0, # Gg>K￾% E _ α 6= 0, ?L{H β − (α,β) (α,α) α. r 0 ≤ (β − (α, β) (α, α) α, β − (α, β) (α, α) α) = (β, β) − 2(β, (α, β) (α, α) α) + (α, β) 2 (α, α) 2 (α, α) = (β, β) − (α, β) 2 (α, α) . l (α, β) 2 ≤ (α, α)(β, β). x\￾X; α = 0 ) β − (α,β) (α,α) α = 0 dg E,X; α, β y|z!d￾% E ✷ 8 5 ℄ej xi , yi , 1 ≤ i ≤ n, ! (x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn) 2 ≤ (x 2 1 + x 2 2 + · · · + x 2 n )(y 2 1 + y 2 2 + · · · + y 2 n ). 8 6  f(x), g(x) ∈ C[a, b], ! ( Z b a f(x)g(x)dx) 2 ≤ Z b a f(x) 2 dx Z b a g(x) 2 dx. r |(α, β)| ≤ |α||β|, l −1 ≤ (α,β) |α||β| . vPG{H/6g'B )E 8.1.3 Vi0 V ￾K{H α, β  03θ vg= cosθ = (α, β) |α||β| . ￾￾Vi0℄GK{H/6 θ, 0 ≤ θ ≤ π. )E 8.1.4 Vi0 V ￾G{H α, β r F2, ^" (α, β) = 0. K{H& -5 R n ￾ εi , 1 ≤ i ≤ n, GG5 ;A 8.1.2 Vi0 V ￾^" α N αi 5￾ 1 ≤ i ≤ n,  α  α1, α2, · · · , αm ℄ y|"'5 2