厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116:;域名: gdjpkc. xmu.edu.cl 第八章欧氏空间 §8.1欧氏空间,长度,夹角 定义8.1.1设V是实数域R上的线性空间,映射 V×V→称为内积,如果对于任意的 B,∈V,c∈R,都有 )(a,B)=(B,a) (2)(a+B,7)=(a,)+(,); (3)(ca,B)=c(a,B); 4)(a,a)≥0且等号成立的充要条件是a=0. 同时称V为关于内积(_,-)的欧几里得( Euclid)空间简称欧氏空间 例1在实数域上的n维列向量空间R中,对于X=(x1,x2,…,xn),Y=(1,y2,…,)∈ Rn,定义 nyn 易见,(-,-)是一个内积Rn对于以上定义的内积构成欧氏空间 例2在实数域上的n维列向量空间Rn中,对于X=(x 1,2 )∈ Rn,定义 (X,Y)=T1y1 +2 232+.+nIny, 于以上定义的内积也构成欧氏 对于同一个线性空间,对于不同的内积构成不同的欧氏空间.今后如无特别说明,欧氏空间Rn总指对 于例1中的内积构成的欧氏空间 例3设C[a,b是R的闭区间[a,b上连续函数全体构成的线性空间对于f(x),9(x)∈C[a,列,定 (f(a),g(r))=/ f(r)g(r)dr 不难验证这定义了一个内积,在此内积下,Ca,b成为欧氏空间 命题81.1设V对于内积(-,-)的欧氏空间则对于任意的a∈V,a1∈V,a1∈R,1≤i≤m, ∈V,b∈R,1≤j≤n,总有 (1)0,a)=0 (2)C∑a=1a2a,∑=1b6)=∑12=ab(a,月 证明利用内积的定义直接验证 定义8.1.2设V是欧氏空间,a∈V.定义a的长度(或范数)为√a,a),记为la 在欧氏空间中,只有零向量的长度为0.其余向量的长度为正数.对于a∈V,c∈武,总有 lca=cllalwO~j7 q IP  59.77.1.116; R gdjpkc.xmu.edu.cn JHR PQOM §8.1 PQOM
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LN )E 8.1.1 V hej R ay|0￾ b (−, −) : V × V → R r <., ^"℄ α, β, γ ∈ V , c ∈ R,  (1) (α, β) = (β, α); (2) (α + β, γ) = (α, γ) + (β, γ); (3) (cα, β) = c(α, β); (4) (α, α) ≥ 0 X% E
o3h α = 0. pd V r!U+ (−, −)  =/7' (Euclid) 51, 1 =?51. 8 1 eja n sJ{H0 R n ￾ X = (x1, x2, · · · , xn) T , Y = (y1, y2, · · · , yn) T ∈ R n,  (X, Y ) = XT Y = x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn 2￾ (−, −) hU+ R n aU+ Vi0 8 2 eja n sJ{H0 R n ￾ X = (x1, x2, · · · , xn) T , Y = (y1, y2, · · · , yn) T ∈ R n,  (X, Y ) = x1y1 + 2x2y2 + · · · + nxnyn 2￾ R n aU+ Vi0 py|0￾pU+ pVi0:(^umkQ￾Vi0 R n ! D 1 U+ Vi0 8 3 C[a, b] h R Z0 [a, b] aF}$j[n y|0 f(x), g(x) ∈ C[a, b],   (f(x), g(x)) = Z b a f(x)g(x)dx. TIU+￾ U+v￾ C[a, b] rVi0 ;A 8.1.1 V U+ (−, −) Vi0℄ α ∈ V , αi ∈ V , ai ∈ R, 1 ≤ i ≤ m, βj ∈ V , bj ∈ R, 1 ≤ j ≤ n, ! (1) (0, α) = 0; (2) (Pm i=1 aiαi , Pn j=1 bjβj) = Pm i=1 Pn j=1 aibj(αi , βj ). G: C U+8 ✷ )E 8.1.2 V hVi0￾ α ∈ V .  α  %* (-+) r p (α, α), .r |α|. Vi0￾K{Hr 0. W{Hrj α ∈ V , c ∈ R, ! |cα| = |c||α|. 1