x-3+21mx+1=-2,所以x=1是函数的可去间断点补充定义 因为lim x2-1 1x-2 y(1)=-2,则函数连续; 因为lir 所以x=2是无穷间断点 (4)因为imf(x)=lim(x2+1)=1;limf(x)=lim(2-x)=2,所以x=0是函 数的跳跃间断点 3.设函数f(x)在点x处连续,证明它的绝对值(x)亦在点x处连续 证由f(x)在x=x连续,故 当x-x<d时,恒有 (x)-f(x)<E,故 (x)-(x)=(x)-f(x0)<E 即|(x)在x也连续 4.讨论函数f(x)=im n→1+x的连续性,若有间断点,判断其类型 当>1 解易知∫(x)=lim ={0当x=1 n→∞1+x X= 跳跃间断点; 在x=1处,limf(x)=lim(-x)=-1,limf(x)=limx=1,所以x=1为跳跃间 断点 5.计算下列极限 (2) lim In( tan x) (3)lim(√x2 2 (6)limx(1+--1) A(1) limin(2x-1)=sinl2 因为 2 2 1 1 1 1 lim lim 2 x x 3 2 2 x x → → x x x − + = =− − + − , 所以 x =1是函数的可去间断点, 补充定义 y(1) 2 = − , 则函数连续; 因为 2 2 2 1 lim x 3 2 x → x x − = ∞ − + , 所以 x = 2 是无穷间断点. (4) 因为 2 0 0 lim ( ) lim ( 1) 1 x x fx x → → + + = += ; 0 0 lim ( ) lim (2 ) 2 x x fx x → → − − = − = , 所以 x = 0 是函 数的跳跃间断点. 3. 设函数 f ( ) x 在点 0x 处连续, 证明它的绝对值 f ( ) x 亦在点 0x 处连续. 证 由 f ( ) x 在 0 x = x 连 续 , 故 ∀ε > 0 , 0 ∃δ > , 当 0 x x − < δ 时 , 恒 有 0 fx fx () ( ) − < ε , 故 0 0 fx fx fx fx () ( ) () ( ) − ≤− < ε , 即 f ( ) x 在 0 x 也连续. 4. 讨论函数 2 2 1 ( ) lim 1 n n n x f x x →∞ x − = + 的连续性, 若有间断点, 判断其类型. 解 易知 2 2 1, 1 ( ) lim 0 1, 1 1, n n n x x x fx x x x x x →∞ ⎧− > − ⎪ = == ⎨ + ⎪ < ⎩ 当 当 当 在 x = −1处, 1 1 lim ( ) lim 1 x x fx x →− →− + + = =− , 1 1 lim ( ) lim ( ) 1 x x fx x →− →− − − = − = , 所以 x = −1为 跳跃间断点; 在 x =1处, 1 1 lim ( ) lim ( ) 1 x x fx x → → + + = − =− , 1 1 lim ( ) lim 1 x x f x x → → − − = = , 所以 x =1为跳跃间 断点. 5. 计算下列极限: (1) 1 limsin(2 1) x x → − ; (2) π 4 lim ln(tan ) x x → ; (3) 2 2 lim ( 2 ) x x x x →+∞ +− − ; (4) 2 2 2 lim x 2 x → x + − − ; (5) 2 0 1 sin lim x sin 2 x x → x ; (6) 1 lim ( 1 1) x x →+∞ x + − . 解 (1) 1 limsin(2 1) sin1 x x → − =