第八节函数的连续性 习题 1.讨论下列函数的连续性.并画出函数的图形 x<0, (1)f(x)= ∫x2+1,0≤x<1 (2)f(x) ≤X≤ 解(1)易知f(x)在[0,1)和(1,2]上连续,在x=1点处, imf(x)=lm(3-x)=2=f(1);imf(x)=im(x3+1)=2=f() 故f(x)在x=1处也连续,即函数在定义域[2]上连续如图1.5 (2)函数定义域为[-1,1,易知函数在[-1,0)和(0,1上连续,在x=0点处 lim f(x)=lim l=f(0);imf(x)=lm(x-1)=-1≠f(0), 故x=0是∫(x)的跳跃间断点如图1.6 y 图1.5 图16 2.指出下列函数的间断点及其类型,如果是可去间断点,则补充或改变函数 的定义使之连续: (3)y (4)f(x) +1, 0, 3x+2 解(1)函数在x=0处无定义,且当x→0时,函数值在-1和1之间无限次的 动,称x=0是函数的振荡间断点 (2)因为lim2s业x=1,所以x=0是可去间断点,补充定义y(0)=1,则函数 连续 (3)函数在x=1和x=2处无定义1 第八节 函数的连续性 习 题 1-8 1. 讨论下列函数的连续性. 并画出函数的图形: (1) 3 1, 0 1, ( ) 3 , 1 2; x x f x x x ⎧⎪ + ≤< = ⎨ ⎪⎩ − ≤≤ (2) 2 1, 0, ( ) 1 , 0. x x f x x x ⎧ − < ⎪ = ⎨ ⎪⎩ − ≥ 解 (1) 易知 f ( ) x 在[0,1) 和(1, 2]上连续, 在 x =1点处, 1 1 lim ( ) lim (3 ) 2 (1) x x f x xf → → + + = − == ; 3 1 1 lim ( ) lim ( 1) 2 (1) x x f xx f → → − − = + == , 故 f ( ) x 在 x =1处也连续, 即函数在定义域[1, 2]上连续. 如图 1.5. (2) 函数定义域为[ 1,1] − , 易知函数在[ 1, 0) − 和(0,1] 上连续, 在 x = 0 点处, 2 0 0 lim ( ) lim 1 1 (0) x x f x xf → → + + = − == ; 0 0 lim ( ) lim ( 1) 1 (0) x x f xx f → → − − = − =− ≠ , 故 x = 0 是 f ( ) x 的跳跃间断点. 如图 1.6. 2. 指出下列函数的间断点及其类型, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数 的定义使之连续： (1) 1 y sin x = ; (2) arcsin x y x = ; (3) 2 2 1 3 2 x y x x − = − + ; (4) 2 1, 0, ( ) 2 , 0. x x f x x x ⎧⎪ + > = ⎨ ⎪⎩ − ≤ 解 (1) 函数在 x = 0 处无定义, 且当 x → 0 时, 函数值在 −1和1之间无限次的 变动, 称 x = 0 是函数的振荡间断点. (2) 因为 0 arcsin lim 1 x x → x = , 所以 x = 0 是可去间断点, 补充定义 y(0) 1 = , 则函数 连续. (3) 函数在 x =1和 x = 2 处无定义. O y 1 2 x 2 1 图 1.5 x −1 O y −1 1 图 1.6 1