5.2子空间 1.判断Rn中下列子集哪些是子空间 a ∈R}; a, a2 2.Mn(F)表示数域F上一切n阶矩阵所组成的向量空间(参看6.1,例2) S={A∈Mn(F)|A′=A}, 7={A∈Mn(F)A′=-A} 证明,S和T都是Mn(F)的子空间,并且 Mn)=S+T,S∩T={0} 3.设W1,W2是向量空间V的子空间,证明:如果V的一个子空间既包含 W1又包含W2,那么它一定包W+W.在这个意义下,W+W2是Ⅴ的既含 W又含兩的最小子空间 4.设V是一个向量空间,且V≠{0}.证明:V不可能表成它的两个真子空 间的并集 5.设WW,W2都是向量空间V的子空间,其中WcW且W∩W=W∩W, W+W=W+W2证明:W1=W2 6.设W,W2是数域F上向量空间V的两个子空间,a,B是V的两个向 量,其中a∈W2,但αgW,又β∈W2,证明: 对于任意k∈F,B+kagW 1)至多有一个k∈F,使得β+ka∈W 7.设W,W2,…,W是向量空间V的子空间,且W1≠V,j1,…,r 证明:存在一个向量ξ∈V,使得ξgW,=1,…,r.5.2 子空间 1．判断 R n 中下列子集哪些是子空间： (i) {（a1，0，…，0，an）| a1，an  R}； (ii) {（a1 ，a2 ，…，an ）| = n i 1 ai =0}； (iii) {（a1 ，a2 ，…，an ）| = n i 1 ai =1}； (iv) {（a1 ，a2 ，…，an ）| ai  Z ，i = 1，…，n}. 2．Mn (F)表示数域 F 上一切 n 阶矩阵所组成的向量空间（参看 6.1，例 2） 令 S={ A  Mn (F) |A′= A}， T={ A  Mn (F) |A′= –A}． 证明，S 和 T 都是 Mn (F)的子空间，并且 Mn(F) = S + T，S  T={0}． 3．设 W1，W2 是向量空间 V 的子空间，证明：如果 V 的一个子空间既包含 W1 又包含 W2 ，那么它一定包 W1 +W2 ．在这个意义下，W1+W2 是 V 的既含 W1 又含 W2 的最小子空间． 4．设 V 是一个向量空间，且 V  {0}．证明：V 不可能表成它的两个真子空 间的并集． 5．设 W，W1，W2 都是向量空间 V 的子空间，其中 W1  W2 且 W  W1=W  W2， W + W1=W + W2 .证明：W1=W2． 6．设 W1，W 2 是数域 F 上向量空间 V 的两个子空间，  ,  是 V 的两个向 量，其中   W2，但   W1，又   W2，证明： （i） 对于任意 k  F,  +k   W2 ； （ii） 至多有一个 k  F，使得  +k   W1 ． 7．设 W1，W2 ，…，Wr 是向量空间 V 的子空间，且 Wi  V，i=1，…，r. 证明：存在一个向量   V，使得   Wi， i=1，…，r．