第5章线性空间 5.1定义和例子 1.令F是一个数域,在F3里计算 (i)(2,0,-1)+(-1,-1,2);l (0,1,-1); 2)+(1,-3,1) 2.证明:如果 a(2,1,3)+b(0,1,2)+c(1,-1,4)=(0,0,0), 那么a=b=c=0 3.找出不全为零的三个有理数a,b,c(即a,b,c中至少有一个不是0), 使得 (1,2,2)+b(3,0,4)+c(5,-2,6)=(0,0, 4.令E1=(1,0,0),E2=(0,1,0),E3=(0,0,1).证明,R3中 每一个向量a可以唯一地表示为 a181+a282+ a383 形式,这里a,a,a3∈R 5.证明,在数域F上向量空间V里,以下算律成立: (i) a(a-B)=aa-aB ()a-b)a=a-ba,这里a,b∈F,a,B∈V 6.证明:数域F上一个向量空间如果含有一个非零向量,那么它一定含有 无限多个向量. 7.证明,对于任意正整数n和任意向量α,都有 a=a+ta 8.证明,向量空间定义中条件3°,8)不能由其余条件推出 9.验证本节最后的等式: )(AB)=((a1 anaB
第 5 章 线性空间 5.1 定义和例子 1．令 F 是一个数域，在 F 3 里计算 （i） 3 1 （2，0，-1）+（-1，-1，2）+ 2 1 （0，1，-1）； （ii）5（0，1，-1）-3（1， 3 1 ，2）+（1，-3，1）． 2．证明：如果 a（2，1，3）+ b（0,1,2）+ c（1，-1，4）=（0，0，0）， 那么 a = b = c = 0． 3．找出不全为零的三个有理数 a，b，c（即 a，b，c 中至少有一个不是 0）， 使得 a (1，2，2) + b（3，0，4）+ c (5，-2，6) = （0，0，0）． 4．令 1 = （1，0，0）， 2 = （0，1，0）， 3 =（0，0，1）．证明，R3 中 每一个向量 可以唯一地表示为 = a1 1 + a2 2 + a3 3 形式，这里 a1，a2，a3 R． 5．证明，在数域 F 上向量空间 V 里，以下算律成立： （i）a ( − ) = a - a ； (ii) (a- b) = a - b , 这里 a，b F ， , V． 6．证明：数域 F 上一个向量空间如果含有一个非零向量，那么它一定含有 无限多个向量． 7．证明，对于任意正整数 n 和任意向量 ，都有 n = +…+ ． 8．证明，向量空间定义中条件 3º，8）不能由其余条件推出． 9．验证本节最后的等式： （ 1，…， n）(AB) =（（ 1，…， n）A）B．
5.2子空间 1.判断Rn中下列子集哪些是子空间 a ∈R}; a, a2 2.Mn(F)表示数域F上一切n阶矩阵所组成的向量空间(参看6.1,例2) S={A∈Mn(F)|A′=A}, 7={A∈Mn(F)A′=-A} 证明,S和T都是Mn(F)的子空间,并且 Mn)=S+T,S∩T={0} 3.设W1,W2是向量空间V的子空间,证明:如果V的一个子空间既包含 W1又包含W2,那么它一定包W+W.在这个意义下,W+W2是Ⅴ的既含 W又含兩的最小子空间 4.设V是一个向量空间,且V≠{0}.证明:V不可能表成它的两个真子空 间的并集 5.设WW,W2都是向量空间V的子空间,其中WcW且W∩W=W∩W, W+W=W+W2证明:W1=W2 6.设W,W2是数域F上向量空间V的两个子空间,a,B是V的两个向 量,其中a∈W2,但αgW,又β∈W2,证明: 对于任意k∈F,B+kagW 1)至多有一个k∈F,使得β+ka∈W 7.设W,W2,…,W是向量空间V的子空间,且W1≠V,j1,…,r 证明:存在一个向量ξ∈V,使得ξgW,=1,…,r
5.2 子空间 1．判断 R n 中下列子集哪些是子空间： (i) {（a1，0，…，0，an）| a1，an R}； (ii) {（a1 ，a2 ，…，an ）| = n i 1 ai =0}； (iii) {（a1 ，a2 ，…，an ）| = n i 1 ai =1}； (iv) {（a1 ，a2 ，…，an ）| ai Z ，i = 1，…，n}. 2．Mn (F)表示数域 F 上一切 n 阶矩阵所组成的向量空间（参看 6.1，例 2） 令 S={ A Mn (F) |A′= A}， T={ A Mn (F) |A′= –A}． 证明，S 和 T 都是 Mn (F)的子空间，并且 Mn(F) = S + T，S T={0}． 3．设 W1，W2 是向量空间 V 的子空间，证明：如果 V 的一个子空间既包含 W1 又包含 W2 ，那么它一定包 W1 +W2 ．在这个意义下，W1+W2 是 V 的既含 W1 又含 W2 的最小子空间． 4．设 V 是一个向量空间，且 V {0}．证明：V 不可能表成它的两个真子空 间的并集． 5．设 W，W1，W2 都是向量空间 V 的子空间，其中 W1 W2 且 W W1=W W2， W + W1=W + W2 .证明：W1=W2． 6．设 W1，W 2 是数域 F 上向量空间 V 的两个子空间， , 是 V 的两个向 量，其中 W2，但 W1，又 W2，证明： （i） 对于任意 k F, +k W2 ； （ii） 至多有一个 k F，使得 +k W1 ． 7．设 W1，W2 ，…，Wr 是向量空间 V 的子空间，且 Wi V，i=1，…，r. 证明：存在一个向量 V，使得 Wi， i=1，…，r．
[提示:对r作数学归纳法并且利用第6题的结果 5.3向量的线性相关性 1.下列向量组是否线性相关 (i)(3,1,4),(2,5,-1),(4,-3,7); (i)(2,0,1),(0,1,-2),(1,-1,1); (i)(2,-1,3,2),(-1,2,2,3),(3,-1,2,2),(2,-1,3,2) 2.证明,在一个向量组{a1,a2…an}里,如果有两个向量a与a,成比例,即 k∈F,那么{a12a2…an}线性相关 3.令a1=(an1a12,…,an)∈F",=12,…n。证明a1,a2…an线性相关必要且只 要行列式 4.设a1=(an12a12,…,an)∈F",i=1,2,…,m,线性无关.对每一个a1任意添上p个 数,得到F””的m个向量B=(an,a12…,am,b1…,bv)=1…,m 证明{B1,B2,…,Bm}也线性无关 5.设a,B,y线性无关,证明a+B,B+y,y+a也线性无关 6.设向量组{a1,2,…n}(r≥2)线性无关,任取k1,k2,…k,∈F.证明,向量 组B1=a1+kan,B2=a2+k21,…,Bn1=am1+k,ar,线性无关 7.下列论断哪些是对的,哪些是错的,如果是对的,证明;如果是错的,举出反例 ()如果当a1=a2=…=a=0时,aa1+a2a2+…+a,a1=0,那么a1,a2,…ar 线性无关 (i)如果a2a2…;线性无关,而a,不能由a1,a2…;a,线性表示,那么 a1,a2,…,r,arn也线性无关
[提示：对 r 作数学归纳法并且利用第 6 题的结果．] 5.3 向量的线性相关性 1.下列向量组是否线性相关: (i)（3，1，4），（2，5，-1），（4，-3，7）； (ii) （2，0，1），（0，1，-2），（1，-1，1）； (iii) （2，-1，3，2），（-1，2，2，3），（3，-1，2，2），（2，-1，3，2）． 2．证明，在一个向量组{ r , , , 1 2 }里，如果有两个向量 i 与 j 成比例，即 i =k j ， k F ，那么{ r , , , 1 2 }线性相关． 3．令 i a a a F i n n i i in ( , , , ) , 1,2, , = 1 2 = 。证明 n , , , 1 2 线性相关必要且只 要行列式 n n nn n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 = 0． 4．设 i a a a F i m n i i in ( , , , ) , 1,2, , = 1 2 = ，线性无关．对每一个 i 任意添上 p 个 数，得到 n p F + 的 m 个向量 i ( , , , , , , ), 1, , . = ai1 ai2 ain bi1 bip i = m ． 证明{ 1 ， 2 ，…， m}也线性无关 5．设 , , 线性无关，证明 + , + , + 也线性无关． 6．设向量组{ r , , , 1 2 } ( (r 2) 线性无关，任取 k1 ,k2 , ,kr−1 F ．证明，向量 组 r r r r r r r 1 =1 + k1 , 2 =2 + k2 , , −1 = −1 + k −1 , 线性无关． 7．下列论断哪些是对的，哪些是错的，如果是对的，证明；如果是错的，举出反例： (i) 如果当 a1 = a2 == ar = 0时,a11 + a22 ++ arr = 0 ，那么 r , , , 1 2 线性无关． (ii) 如果 r , , , 1 2 线性无关 ，而 r+1 不能由 r , , , 1 2 线性表示 ，那么 r , , , 1 2 ，r+1 也线性无关．
(i)如果a1,a2…,∝线性无关,那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合 (iy)如果a1:a2,…;a,线性相关,那么其中每一个向量都是其余向量的线性组 8.设向量B可以由a1a2,…,ar,表示,但不能由a1,a2…a线性表示.证明,向 量组{ax1,a2,…,a,-1,an}与向量组{a1,∝2,…a,β}等价 9.设向量组a1,a2,…,a1中a1≠0并且每一a1都不能表成它的前i-1个向量 a1,a2…a1的线性组合.证明a1,a2,…ar线性无关 10.设向量a1,a2,…ar线性无关,而a1,a2,…,a1,B,y线性相关,证明,或者B 与y中至少有一个可以由ax1,a2,…,a,线性表示,或者向量组{a1,a2…ar,B}与 ∝13α2,…ar,y}等价 5.4基和维数 令Fn[x表示数域F上一切次数≤n的多项式连同零多项式所组成的向量 空间.这个向量空间的维数是几?下列向量组是不是F3[x]的基: (i){x+1,x+1,x2+x,x3+x2+2x+2}; (i){x-1,1-x2,x2+2x-2,x3} 2.求下列子空间的维数: (i)L(2,-3,1),(1,4,2),(5,-2,4))∈R i) L(x-1, 1-x2,x'x)CFIx (i)L(e,e2,e3)gC口a,b 3.把向量组{(2,1,-1,3),(-1,0,1,2)}扩充为R的一个基 4.令S是数域F上一切满足条件A=A的n阶矩阵A所成的向量空间,求 S的维数 5.证明,复数域C作为实数域R上向量空间,维数是2.如果C看成它本 身上的向量空间的话,维数是几? 6.证明定理642的逆定理:如果向量空间V的每一个向量都可以唯一地
(iii) 如果 r , , , 1 2 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合． (iv) 如果 r , , , 1 2 线性相关，那么其中每一个向量都是其余向量的线性组合． 8．设向量 可以由 r , , , 1 2 表示，但不能由 1 2 1 , , , r− 线性表示．证明，向 量组{ r r , , , , 1 2 −1 }与向量组{ 1 2 1 , , , r− ， }等价． 9．设向量组 r , , , 1 2 中 1 0 并且每一 i 都不能表成它的前 i −1 个向量 1 2 1 , , , i− 的线性组合．证明 r , , , 1 2 线性无关． 10．设向量 r , , , 1 2 线性无关，而 r , , , 1 2 ， ， 线性相关，证明，或者 与 中至少有一个可以由 r , , , 1 2 线性表示，或者向量组{ r , , , 1 2 ， }与 { r , , , 1 2 ， }等价． 5.4 基和维数 1．令 Fn [x]表示数域 F 上一切次数 n 的多项式连同零多项式所组成的向量 空间．这个向量空间的维数是几？下列向量组是不是 F3 [x]的基： (i){x 3+1，x+1，x 2+x，x 3+x2+2x+2}； (ii){x-1，1-x 2，x 2+2x-2，x 3}. 2．求下列子空间的维数： （i）L ( (2，-3，1)，（1，4，2），（5，-2，4）) R 3 (ii) L(x-1，1-x 2，x 2 -x) F[x]； (iii) L(ex，e 2x，e 3x ) C [a，b]. 3．把向量组{（2，1，-1，3），（-1，0，1，2）}扩充为 R 4 的一个基． 4．令 S 是数域 F 上一切满足条件 A’=A 的 n 阶矩阵 A 所成的向量空间，求 S 的维数． 5．证明，复数域 C 作为实数域 R 上向量空间，维数是 2．如果 C 看成它本 身上的向量空间的话，维数是几？ 6．证明定理 6.4.2 的逆定理：如果向量空间 V 的每一个向量都可以唯一地
表成V中向量 a,…,a.的线性组合,那么din=n 7.设W是Rn的一个非零子空间,而对于W的每一个向量( a,a2, )来说,要么a=a=…=ωn=0,要么每一个a1都不等于零,证明dimW 8.设W是n维向量空间T的一个子空间,且0<dmW<n.证明:W在V 中有不只一个余子空间 9.证明本书最后的论断 5.5坐标 1.设{a1,a2,…,an}是V的一个基.求由这个基到{a2,…,an, al}的过渡矩阵 2.证明,{x3,x3+x,x2+1,x+1}是F3[x](数域F上一切次数≤3的多项式 及零)的一个基.求下列多项式关于这个基的坐标: 3.设a1=(2,1,-1,1),a2=(0,3,1,0),a3=(5,3,2,1)a4=(6, 6,1,3).证明{a1,a2,a3.a4}作成R的一个基.在R中求一个非零向 量,使它关于这个基的坐标与关于标准基的坐标相同 4.设 0,-1,3),a3=(1,-1,0) B1=(2,1,5),B2=( 1),B3=(1,3,2). 证明{a1,a2,a3}和{B1,B2,β}都是R3的基.求前者到后者的过渡 矩阵 5.设{a1,a2,…,an}是F上n维向量空间V的一个基.A是F上 个nxs矩阵.令 (B1,B B sFaI,a2 证明 dim(B I, B β)=秩
表成 V 中向量 n , , 1 的线性组合，那么 dimV = n. 7．设 W 是 R n 的一个非零子空间，而对于 W 的每一个向量（a1，a2，…， an）来说，要么 a1 = a2= … = an = 0，要么每一个 ai 都不等于零，证明 dimW = 1． 8．设 W 是 n 维向量空间 V 的一个子空间，且 0< dimW < n．证明：W 在 V 中有不只一个余子空间． 9．证明本书最后的论断． 5.5 坐标 1．设{ 1 ， 2 ，…， n}是 V 的一个基．求由这个基到{ 2 ，…， n ， 1}的过渡矩阵． 2．证明，{x 3，x 3+x，x 2+1，x+1}是 F3 [x]（数域 F 上一切次数 3 的多项式 及零）的一个基．求下列多项式关于这个基的坐标： （i）x 2+2x+3；（ii）x 3； （iii）4；（iv）x 2 -x． 3．设 1 =(2，1，-1，1)， 2=（0，3，1，0）， 3=（5，3，2，1） 4=（6， 6，1，3）．证明{ 1 ， 2 ， 3， 4 } 作成 R 4 的一个基．在 R 4 中求一个非零向 量，使它关于这个基的坐标与关于标准基的坐标相同． 4．设 1 =(1，2，-1)， 2=（0，-1，3）， 3=（1，-1，0）； 1=（2，1，5）， 2=（-2，3，1）， 3=（1，3，2）． 证明{ 1 ， 2 ， 3 }和{ 1 ， 2 ， 3}都是 R 3 的基．求前者到后者的过渡 矩阵． 5．设{ 1 ， 2 ，…， n}是 F 上 n 维向量空间 V 的一个基．A 是 F 上一 个 n s 矩阵．令 ( 1 ， 2 ，…， s)=( 1 ， 2 ，…， n)A ． 证明 dimL( 1 ， 2 ，…， s)=秩 A．
5.6向量空间的同构 1.证明,复数域C作为实数域R上向量空间,与V2同构 2.设f:→W是向量空间V到W的一个同构映射,是V的一个子空间 证明f(V1)是W的一个子空间 3.证明向量空间F[x]可以与它的一个真子空间同构 5.7矩阵的秩齐次线性方程组的解空间 证明:行列式等于零的充分且必要条件是它的行(或列)线性相关 2.证明,秩(A+B)≤秩A+秩B 3.设A是一个m行的矩阵,秩A=r,从A中任取出s行,作一个s行的矩 阵B.证明,秩B≥r+s-m 4.设A是一个mxn矩阵,秩A=r.从A中任意划去m-s行与n-t列, 其余元素按原来位置排成一个s×t矩阵C,证明,秩C≥r+s+t-m-n. 求齐次线性方程组 x1+x2+x3+x4+x5=0 3x1+2x2+x3+x4-3x5=0 5x1+4x2+3x3+3x4-x5=0 的一个基础解系 6.证明定理673的逆命题:P的任意一个子空间都是某一含n个未知量 的齐次线生方程组的解空间 7.证明,P的任意一个≠P的子空间都是若干n-1维子空间的交
5.6 向量空间的同构 1．证明,复数域 C 作为实数域 R 上向量空间,与 V2 同构． 2．设 f :V →W 是向量空间 V 到 W 的一个同构映射,V1 是 V 的一个子空间. 证明 ( ) V1 f 是 W 的一个子空间． 3．证明:向量空间 F[x] 可以与它的一个真子空间同构． 5.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间 1．证明：行列式等于零的充分且必要条件是它的行（或列）线性相关． 2．证明，秩（A+B） 秩 A+秩 B． 3．设 A 是一个 m 行的矩阵，秩 A=r，从 A 中任取出 s 行，作一个 s 行的矩 阵 B．证明，秩 B r+s – m． 4．设 A 是一个 m n 矩阵，秩 A=r．从 A 中任意划去 m–s 行与 n–t 列， 其余元素按原来位置排成一个 s t 矩阵 C，证明，秩 C r+s+t–m–n． 5．求齐次线性方程组 x1 + x2 + x3 + x4 + x5=0， 3x1 +2x2 + x3 +x4 –3x5 =0， 5x1 + 4 x2 + 3x3 +3x4–x5 =0， x2 + 2x3 + 2x4 + x5 =0 的一个基础解系． 6．证明定理 6.7.3 的逆命题：F n 的任意一个子空间都是某一含 n 个未知量 的齐次线生方程组的解空间． 7．证明，F n 的任意一个≠F n 的子空间都是若干 n–1 维子空间的交．