第七节方向导数与梯度 巴一、问题的提出 四二、方向导数的定义 巴三、梯度的概念 四四、小结思考题
生一、问题的提出 实例:一块长方形的金属板,四个顶点的坐 标是(1,1),(5,1),(1,3),(5,3).在坐标原点 处有一个火焰,它使金属板受热.假定板上 午任意一点处的温度与该点到原点的距离成反 工工工 比.在(3,2)处有一个蚂蚁,问这只蚂蚁应沿 什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点? 间题的实质:应沿由热变冷变化最骤烈的方 向(即梯度方向)爬行 上页
实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐 标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点 处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上 任意一点处的温度与该点到原点的距离成反 比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿 什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？ 问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方 向（即梯度方向）爬行． 一、问题的提出
生三、方向导数的定义 讨论函数z=f(x,y)在一点P沿某一方向 的变化率问题. 设函数z=f(x,y)在点 y P(x,y)的某一邻域U(P) 内有定义,自点P引射线1.∠ c为y,并设P(x+△x,y+4 王设x轴正向到射线的转角 为l上的另一点且P∈U(p).(如图) 王页下
讨论函数 在一点P沿某一方向 的变化率问题． z = f (x, y) 二、方向导数的定义 o y x l • P x y • P 内有定义，自点 引射线 ． • 的某一邻域 设函数 在点 P l P x y U P z f x y ( , ) ( ) = ( , ) ( ). , ( , ) l P U p P x x y y x l + + 为 上的另一点且 为 并设 设 轴正向到射线 的转角 （如图）
PPF=p=√(△x)2+(△y)2, 且△z=f(x+△x,y+Ay)-f(x,y), 考虑 当P沿着L趋于P时, m f(x+Ax,+4y)-f(x,y)是否存在 上页
| PP |= ( ) ( ) , 2 2 = x + y 且 z = f (x + x, y + y) − f (x, y), 当 P 沿着 l 趋于 P 时， ( , ) ( , ) lim 0 f x + x y + y − f x y → , z 考虑 是否存在？
王定义函数的增量∫(x+△,y+2y)-f(x,)与 PP两点间的距离=(△y3+(4y之比值, 王当P沿着1趋于P时,如果此比的极限存在, 9 则称这极限为函数在点P沿方向的方向导数 记为 af:f(x+△x,y+△y)-f(x,y) =Im 工工工 P→0 依定义,函数f(x,y)在点P沿着x轴正向E1={1,0}、 y轴正向e2={0,1的方向导数分别为fx,fy 沿着x轴负向、y轴负向的方向导数是一fx,-J 上页
. ( , ) ( , ) lim 0 f x x y y f x y l f + + − = → 依定义，函数 f (x, y)在点P 沿着x 轴正向 {1,0} e1 = 、 y轴正向 {0,1} e2 = 的方向导数分别为 x y f , f ； 沿着x轴负向、y 轴负向的方向导数是 x y − f ,− f . 则称这极限为函数在点 沿方向 的方向导数． 当 沿着 趋于 时，如果此比的极限存在， 两点间的距离 之比值， 定义 函数的增量 与 P l P l P PP x y f x x y y f x y = + + + − 2 2 ( ) ( ) ( , ) ( , ) 记为
定理如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)是可微分 的,那末函数在该点沿任意方向L的方向导数都 存在,且右=可cos+yng, af al ax 其中为X轴到方向L的转角 ■ 证明由于函数可徼,则增量可表示为 尽f(x+Ax,y+4)-/(y0 △y+0(p) ax ay 两边同除以卩,得到 上页
定理 如果函数z = f ( x, y)在点P( x, y)是可微分 的，那末函数在该点沿任意方向 L 的方向导数都 存在，且有 cos sin y f x f l f + = ， 其中 为x 轴到方向 L 的转角． 证明 由于函数可微，则增量可表示为 ( , ) ( , ) y o( ) y f x x f f x x y y f x y + + + + − = 两边同除以 , 得到
∫(x+Ax,y+4y)-f(x,y)QAx,可f4y,o(p) 十 ax anpp 故有方向导数 af 工工工 lim/(x+ Ax,J+Ay)-J(x,y) →>0 of Cos9+s.Sn卯 ay 上页
cos sin ( , ) ( , ) y o( ) y x f x f x x y y f x y f + + = + + − 故有方向导数 ( , ) ( , ) lim 0 f x + x y + y − f x y → cos sin. y f x f + = = l f
例1求函数z=xe2在点P(1,0)处沿从点 P(1,0)到点Q(2,-1的方向的方向导数 王解这里方问即为P=1-1 故x轴到方向的转角p、x z = =1 z =exe 2 ax (1,0) (1,0) O (1,0) (1,0) 所求方向导数 coS(-)+2 sin(-) = 2 2 王页下
例 1 求函数 y z xe 2 = 在点P(1,0)处沿从点 P(1,0)到点Q(2,−1)的方向的方向导数. 解 故x轴到方向l 的转角 4 = − . 1; (1,0) 2 (1,0) = = y e x z 2 2, (1,0) 2 (1,0) = = y xe y z 所求方向导数 ) 4 ) 2sin( 4 cos( + − = − l z . 2 2 = − 这里方向l 即为PQ = {1,−1}
例2求函数f(x,y)=x2-xy+y2在点(1,1) 沿与x轴方向夹角为的方向射线的方向导数并 问在怎样的方向上此方向导数有 (1)最大值;(2)最小值;(3)等于零? 解由方向导数的计算公式知 af f(1, 1)cosa+f, (l,Sina al (1,1) =(2x-y)) cosa+(2y-x) (1,1)3o 上页
例 2 求函数 2 2 f (x, y) = x − xy + y 在点（1，1） 沿与x轴方向夹角为 的方向射线l 的方向导数.并 问在怎样的方向上此方向导 数有 （1）最大值； （2）最小值； （3）等于零？ 解 (1,1)cos (1,1)sin (1,1) x y f f l f = + 由方向导数的计算公式知 (2 ) cos (2 ) sin , (1,1) (1,1) = x − y + y − x
=caia=√2si(a+4 故(1)当a=4时,方向导数达到最大值2 (2)当a=时,方向导数达到最小值-√2; (3)当a=沉和α=时,方向导数等于0 4 上页
= cos + sin ), 4 2sin( = + 故 （1）当 4 = 时， 方向导数达到最大值 2; （2）当 4 5 = 时， 方向导数达到最小值− 2 ; （3）当 4 3 = 和 4 7 = 时， 方向导数等于 0