第二节二重积分的计算法(3) 一、二重积分的换元法 巴二、小结思考题
一、二重积分的换元法 平面上同一个点,直角坐标与极坐标之 间的关系为 x=rcos B, ly=rsin e 上式可看成是从直角坐标平面r0到直角 坐标平面xoy的一种变换,即对于ro平 牛面上的一点M(r,通过上式变换,变 成xoy平面上的一点M(x,y),且这种变 换是一对一的 上页
一、二重积分的换元法 = = sin . cos , y r x r 间的关系为 平面上同一个点，直角坐标与极坐标之 坐标平面 的一种变换， 上式可看成是从直角坐标平面 到直角 xoy ro 换是一对一的． 成 平面上的一点 ，且这种变 面上的一点 ，通过上式变换，变 即对于 平 ( , ) ( , ) xoy M x y M r ro
庄定理设∫(x,)在x平面上的闭区域D上 连续,变换T:x=x(u,),y=y(a,n) 将uov平面上的闭区域D变为xoy平面上的D, 且满足 (1)x(u,v,y(u,v)在D′上具有一阶连续偏导数 a(x,y) (2)在D上雅可比式J(u,yy=a(1y 庄(3)变换r:D→D是-对一的,则有 u,v)auav 上页
( , ) [ ( , ), ( , )] ( , ) . (3) : 0; ( , ) ( , ) (2) ( , ) (1) ( , ), ( , ) : ( , ), ( , ) ( , ) = → = = = D D f x y dxdy f x u v y u v J u v dudv T D D u v x y D J u v x u v y u v D uov D xoy D T x x u v y y u v f x y xoy D 变 换 是一对一的，则有 在 上雅可比式 在 上具有一阶连续偏导数； 且满足 将 平面上的闭区域 变 为 平面上的 ， 连续，变换 定 理 设 在 平面上的闭区域 上
王例1计算』e+dd其中D由x轴、轴和直 D 线x+y=2所围成的闭区域 解令u=y-x,v=y x+y=2 D 则x= v-u vu J 2 2 D→D,即x=0→u=-v; y=0→>u=1 u=-v u= y x+y=2→V=2 u 王页下
例 1 解 线 所围成的闭区域． 计算 其中 由 轴、 轴和直 2 , + = +− x ye dxdy D x y D y x y x 令 u = y − x, v = y + x, . 2 , 2 v u y v u x + = − 则 = D → D , D x yo x + y = 2 D u vo u = −v u = v v = 2 2 2. 0 ; 0 ; + = → = = → = = → = − x y v y u v 即 x u v
d(x, y) a(u 2 2 2 故 e)+r dxdy=lle dh e 二 2
( , ) ( , ) u v x y J = , 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 = − − = + − = − D v u D y x y x e dxdy e dudv 2 1 故 − = v v v u dv e du 2 2 0 1 − = − 2 0 1 ( ) 2 1 e e vdv . −1 = e − e
2 例2计算1-2-2dy,其中D为 b 2 椭圆,+,=1所围成的闭区域. b 解作广义极坐标变换= ∪y= brine, 其中a>0,b>0,r≥0,0≤0≤2π 在这变换下D→>D′={(r,0)0≤r≤1,0≤0≤27}, 上页
例 2 解 椭 圆 所围成的闭区域． 计 算 其 中 为 11 , 22 22 22 22 + = − − by ax dxdy D by ax D 其中a 0, b 0, r 0, 0 2. = = sin , cos , y br x ar 作广义极坐标变换 在这变换下D → D = {(r,)0 r 1 , 0 2}
(x,y) =abr。 (r,0) J在D内仅当r=0处为零, 故换元公式仍成立, 2 工工工 ∫1-x2-a小=∫1 rabrdrde==ab D 3 上页
. ( , ) ( , ) abr r x y J = = 故换元公式仍成立， J 在 D内仅当r = 0处为零， dxdy r abrdrd b y a x D D − − = − 2 2 2 2 2 1 1 . 3 2 = ab
、小结 1.作什么变换主要取决于积分区域D的形状 同时也兼顾被积函数f(x,y)的形式 基本要求:变换后定限简便,求积容易 工工工 2.了_O(x,y a(u, v) a(u,v) a(,y) 上页
二、小结 同时也兼顾被积函数 的形式． ．作什么变换主要取决于积分区域 的形状， ( , ) 1 f x y D 基本要求:变换后定限简便，求积容易． . ( , ) ( , ) 1 ( , ) ( , ) 2. x y u v u v x y J = =
思考题 计算eo,其中D:x+y=1, d xty x=0和y=0所围成 上页
计算 e d x y y x y D 2 ( + ) + ，其中 D：x + y = 1， x = 0和 y = 0所围成. 思考题
思考题解答 J u=xty =L-1 x+y=1 令v=y J=ν (x,y) 雅可比行列式J==1,叶a=p 9 D 变换后区域为 L 上页
令 = = + v y u x y , = = − y v x u v 雅可比行列式 1 ( , ) ( , ) = = u v x y J , 变换后区域为 思考题解答 o x y x + y = 1 D o u v u = v D
