绵阳师范学院：《高等数学》课程PPT教学课件（高等代数）第2章 矩阵

第2章矩阵 2.1矩阵的运篁 22可逆矩阵矩阵乘积的行列式 23矩阵的分块

1 首页 上页 返回 下页 结束 铃 第2章 矩阵 2.1 矩阵的运算 2.2 可逆矩阵 矩阵乘积的行列式 2.3 矩阵的分块

宇宙之大,粒子之微、火箭之速、化工之巧 、地球之变、生物之迷、日用之繁,无处不 用数学。 华罗庚 2首页上页 下页「结束 铃

2 首页 上页 返回 下页 结束 铃 宇宙之大，粒子之微、火箭之速、化工之巧 、地球之变、生物之迷、日用之繁，无处不 用数学。 —— 华罗庚

1矩阵的运算 内容分布 2.1.1认识矩阵 2.1.2矩阵的运算 2.1.3矩阵的运算性质 2.1.4方阵的多项式 2.1.5矩阵的转置 、教学目的 1.掌握矩阵的加法、乘法以及数与矩阵的乘法运算法则及其基本性 质,并能熟练地对矩阵进行运算。 2.掌握转置矩阵及其运算性质。 3.掌握方阵的幂、方阵的多项式。 重点、难点 矩阵的乘法运算法则及其基本性质,转置矩阵及其运算性质。 上页 下页「结束 铃

3 首页 上页 返回 下页 结束 铃 2.1 矩阵的运算 一、内容分布 2.1.1 认识矩阵 2.1.2 矩阵的运算 2.1.3 矩阵的运算性质 2.1.4 方阵的多项式 2.1.5 矩阵的转置 二、教学目的 1. 掌握矩阵的加法、乘法以及 数与矩阵的乘法运算法则及其基本性 质，并能熟练地对矩阵进行运算。 2. 掌握转置矩阵及其运算性质。 3. 掌握方阵的幂、方阵的多项式。 三、重点、难点 矩阵的乘法运算法则及其基本性质，转置矩阵及其运算性质

2.1.1认识矩阵 设F是数域,用F的元素a1排成的m行n列的数表 A m2 h 称为F上m×1矩阵,简写: A=(a1)m或A=(a1) 矩阵的产生有丰富的背景:线形方程组的系数矩 阵…矩阵的应用非常广泛 4【页【上页 下页「结束 铃

4 首页 上页 返回 下页 结束 铃 2.1.1 认识矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a     =           称为F上 mn 矩阵, 简写: ( ) ( ) A = ai j mn 或A = ai j 矩阵的产生有丰富的背景: 线形方程组的系数矩 阵….., 矩阵的应用非常广泛. 设F是数域, 用F的元素 aij 排成的m行n列的数表

2.1.2矩阵的运算 定义1(矩阵的数乘)给定数域F中的一个数k与矩阵A 的乘积定义为 kA=k 定义2(矩阵的加法)给定两个m×n矩阵 B a 5【首页上页 下页 结束 铃

5 首页 上页 返回 下页 结束 铃 2.1.2 矩阵的运算 定义1 (矩阵的数乘) 给定数域F中的一个数k与矩阵A 的乘积定义为 11 12 1 11 12 1 21 22 2 21 22 2 1 2 1 2 n n n n m m mn m m mn a a a ka ka ka a a a ka ka ka kA k a a a ka ka ka             = =             定义2（矩阵的加法） 给定两个 m n  矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a     =           11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn b b b b b b B b b b     =          

A和B加法定义为: +6 a,+ aL2+ a+B= a21+b21a2+b a, tb atb 定义3(矩阵的乘法)给定一个m×n矩阵和一个n×l 矩阵 B m2 6【【上页 下页「结束 铃

6 首页 上页 返回 下页 结束 铃 A和B加法定义为: 11 11 12 12 1 1 21 21 22 22 2 2 1 1 2 2 n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b   + + +   + + + + =           + + + 定义3（矩阵的乘法）给定一个 m n  矩阵和一个 n l  矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a       =       11 12 1 21 22 2 1 2 l l n n nl b b b b b b B b b b       =      

A和的乘法定义为 AB ∑a2b1∑a2b 注意:相加的两个矩阵必须同型,结果也同型;相乘的两 个矩阵必须第一个的列数等于第二个的行数,试问:结果 的形状? 7【首页上页 下页「结束 铃

7 首页 上页 返回 下页 结束 铃 A和B的乘法定义为                     =          = = = = = = = = = n i mi i l n i mi i n i mi i n i i i l n i i i n i i i n i i i l n i i i n i i i a b a b a b a b a b a b a b a b a b AB 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1       注意: 相加的两个矩阵必须同型, 结果也同型; 相乘的两 个矩阵必须:第一个的列数等于第二个的行数, 试问: 结果 的形状?

2.1.3矩阵的运算性质 矩阵和定义在矩阵上的运算满足如下运算规律(其中A, B,C均为F的矩阵,k,l为数域F中的数) 注意:矩阵的乘法不满足交换律, 消去律:A≠0,AB=AC→B=C也不满足 满足:AB=BA的两个矩阵称为可交换的 (5)数乘结合律k(4)=(kD)A (6)数乘分配律k(A+B)=kA+kB (k+DA=kA+lA )乘法结合律(AB)C=A(BC k(AB)=(kAB=A(kB) (8)乘法分配律A(B+C)=AB+BC (B+C)A=BA+CA 8【首页[上页 下页 结束 铃

8 首页 上页 返回 下页 结束 铃 2.1.3 矩阵的运算性质 矩阵和定义在矩阵上的运算满足如下运算规律（其中A， B，C 均为F上的矩阵，k，l为数域F中的数） (1) 加法交换律 A+ B = B + A (2) 加法结合律 (A+ B) +C = A+ (B +C) (3) 零矩阵 A+ 0 = A (4) 负矩阵 A + (−A) = 0 (5) 数乘结合律 k(lA) = (kl)A (6) 数乘分配律 k(A+ B) = kA+ kB (k + l)A = kA+ lA (7) 乘法结合律 (AB)C = A(BC) k(AB) = (k A)B = A(k B) (8) 乘法分配律 A(B +C) = AB+ BC (B +C)A = BA +CA 注意: 矩阵的乘法不满足交换律, 消去律: A  0, AB = AC  B = C 也不满足. 满足: AB = BA 的两个矩阵称为可交换的

432-1 例1已知A=03-21,B=5-301,求3A-2B 403 例2已知A=1 79|,B=5 2468 32-16 且A+2X=B,求X 例3若A=1-2|,B 31 0八求AB 上页 下页「结束 铃

9 首页 上页 返回 下页 结束 铃 例 1 已知           − − − =           − − = 1 2 5 0 5 3 0 1 4 3 2 1 , 4 0 3 2 0 3 2 1 1 2 3 1 A B , 求 3A−2B. 例 2 已知 , 3 2 1 6 5 1 9 7 7 5 2 4 , 2 4 6 8 1 5 7 9 3 1 2 0           − − =           − A = B 且 A+ 2X = B, 求X . 例 3 若 , 2 1 0 1 2 3 , 3 1 1 2 2 3         − − − =           A= − B 求 AB

0100 0010 例5求与矩阵A 可交换的一切矩阵 0001 0000 例6证明:如果CA=AC,CB=BC,则有 (A+ B)C=C(A+B) (ABC=C(AB) 10【上页 下页「结束 铃

10 首页 上页 返回 下页 结束 铃 例 5 求与矩阵               = 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 A 可交换的一切矩阵 . 例 6 证明: 如果 CA= AC, CB = BC , 则有 ( ) ( ). ( ) ( ); AB C C AB A B C C A B = + = +